加減法(二元一次連立方程式の解き方2) - 趣味で学問

加減法(二元一次連立方程式の解き方2)

連立方程式のもう一つの解き方、加減法についてです。二元一次連立方程式なら代入法だけでも解けるのだけど、加減法の方が計算が簡単な場合が多いです。先に加減法で前回の連立方程式を解いてみます。

\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=5 …①\\ x-y=4 …② \end{array} \right. \end{align}

まず①の式に②の式を足します。式に式を足すってどういうこと?と思うかもしれませんが後で説明するので、計算を見ておいてください。左辺にある2xとxを足して3x、yと-yを足して0、右辺に行って5と4を足して9になるので、二つの式を足した後の式は3x=9です。この一次方程式を解いてx=3になります。
参照ページ:一元一次方程式

x=3を①と②どちらでもよいのですが、ここでは②に代入すると3-y=4となり、この一次方程式を解いてy=-1です。(x,y)=(3,-1)が出てきて代入法のときと同じ答えになりました。

この二つの式を足すという操作なんですが、文字式が含まれているのでよくわからなくなるだけで、難しいことをしているわけではありません。②の式は等式なので、左辺の(x-y)と右辺の4は同じ値だということを意味しています。①式の左辺に②式の左辺を足す、①式の右辺に②式の右辺を足すというのは、同じ値を左辺と右辺に加えるだけなので、加えた後の式が等式であるのは変わりません。例えば2+1=3という式の両辺にそれぞれ4を足しても2+1+4=3+4となり、右辺も左辺も7で等しい値のままです。また5-1=4という式を2+1=3に加えると、2+1+(5-1)=3+4という式になり、これも左辺と右辺を計算してどちらも等しい7になります。具体的な数値しかもたない式にこの操作をやっても当たり前のことをやってるだけにみえるでしょうが、実は加減法でやっていることはこれと同じです。何が違うかというと式が文字を含むか含まないかです。

文字xやyで表現される数は、まだ決まってないけれどその都度ある値に決まる数です。1+xという式だと、xは1か2かまたは-3かまだ決まってないので、1とxをまとめてしまうことができません。例えばxが1だと決まれば1+1=2、-3だと決まれば1+(-3)=-2という風にまとめてしまえるのですが、xの値はいろんな値に決まりうるので、決まるまでは1+xと分けて表現する必要があります。そのため2x+y=5のように2xとyを分けた形で表現することになります。

①+②をしてx=3を求めるまでの操作を下にまとめます。

\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=5 …①\\ x-y=4 …② \end{array} \right.\\ ①+②より\\ \begin{array}{rrrr} & 2x & +y & = & 5 \\ +\big{)}& x & -y & = & 4 \\ \hline & 2x+x & +y-y & = & 5+4 \\ & 3x & & = & 9 \\ & x & & = & 3 \\ \end{array} \end{align}

連立方程式の変数は、同じ文字の場合は同じ数、例えば上の式のxが3と決まれば下の式のxも3と決まるような数です。なので同じ文字の場合はまとめることができます。①に②を足す場合に、左辺のxの項どうしをまとめて2x+x=3x、yの項どうしをまとめてy+(-y)=0になります。この場合のyの項のように同じ文字の項を足したり引いたりして0になるようにすれば、一次方程式に変わってくれます。その式は連立方程式という条件をそのままに変形された式なので、その一次方程式の解がそのままその連立方程式の解になっています。xとyどちらかの解が決まれば、不定の数がその値に決まり、例えば上の例ではx=3と決まったので②式のxを3に確定すると3-y=4という方程式に変わります。この式を満たすyの値はこの一次方程式を解いてy=-1と決まります。

以上の二元一次連立方程式を加減法で解く操作を下にまとめます。

\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=5 …①\\ x-y=4 …②\\ \end{array} \right.\\ ①+②より\\ \begin{array}{rrrrr} & 2x & +y & = & 5 \\ +\big{)}& x & -y & = & 4 \\ \hline & 2x+x & +y-y & = & 5+4 \\ & 3x & & = & 9 \\ & x & & = & 3 \\ \end{array} \end{align} \begin{align} 3 – y = 4 (②のxにx=3を代入)\\ -y = 4 – 3 \\ -y = 1 \\ y = -1 \\ (x, y) = (3, -1) \\ \end{align}

代入方も加減法も、もっと複雑な連立方程式を解くときにはいくつかの工夫が必要なのですが、そちらは学校でたくさん行うのでここでは省略したいと思います。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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