ド・モアブルの定理

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１．ド・モアブルの定理

複素数の掛け算と割り算から、ド・モアブルの定理を理解することができます。ド・モアブルの定理を下に示します。

\begin{align} ド・モアブルの定理： (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta (nは整数） \end{align}

(cosθ+isinθ)2なら(cosθ+isinθ)に(cosθ+isinθ)をかけるので、絶対値は1のまま、θに+θ回転して、cos(θ+θ)+isin(θ+θ)=cos2θ+isin2θとなります。(cosθ+isinθ)nならこれをn回繰り返すのでcosnθ+isinnθです（図１）。

ド・モアブルの定理そのものではないですが、z=r(cosθ+isinθ)のとき、znはr(cosθ+isinθ)・r(cosθ+isinθ)・r(cosθ+isinθ)…=rn(cosθ+isinθ)nとなって、zn=rn(cosnθ+isinnθ)となります。nが大きいときでも、ド・モアブルの定理を使えば簡単にznを計算することができます。

２．ド・モアブルの定理の利用例

具体例、(√3+i)3を計算してみます。

\begin{align} (\sqrt{3}+i)^3=\{2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)\}^3\\ =\{2(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})\}^3\\ =2^3(\cos 3 \cdot \frac{\pi}{6}+i\sin 3\cdot \frac{\pi}{6})\\ =2^3(\cos \frac{\pi}{2} +i\sin \frac{\pi}{2})=8(0+i)=8i\\ \end{align}

ド・モアブルの定理を使って高次方程式をとくこともできます。z3=1を満たす複素数zは3つあります。これらをド・モアブルの定理を使って見つけてみましょう。

\begin{align} z=r(\cos \theta + i\sin \theta)とおく\\ z^3=1より\\ r^3(\cos \theta +i\sin \theta)^3=1\\ r^3(\cos 3\theta +i\sin 3\theta)=1^3(\cos 0 + i\sin 0)\\ 両辺を比較して、r=1（r>0より）、3\theta = 0 + 2k\pi（kは整数）\\ \theta = \frac{2k\pi}{3}となり、0\leqq \theta < 2\piだから\theta = 0(k=0)、\frac{2\pi}{3}(k=1)、\frac{4\pi}{3}(k=2)\\ したがってz_1=(\cos 0 +i \sin 0) = 1\\ z_2=(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\\ z_3=(\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i\\ \end{align}

途中、3θ=0+2kπの形にしているところが一番の注意点でしょうか。通常0≦θ＜2πの範囲で考えますが3θの値なので2πを超える値も含まれています。なのでいったん+2kπをして一般角まで広げておいてから、θ=2kπ/3のうち0≦θ＜2πの範囲に収まるkの値を探す、というふうに求めるのが一般的です。ちなみにx3=1を(x-1)(x2+x+1)=0と因数分解して解を求めてもよいです。しかし高次になるほど因数分解が難しくなるので、その場合はド・モアブルの定理が威力を発揮することになります。

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細胞内共生説（オートポイエーシス論）

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前ページで、原核生物のオートポイエーシス論的記述が細胞システムの記述とほぼ同じでよい、という結論に達しました。今回は、原核生物の共生による現生真核生物が誕生したとする細胞内共生説に対し、オートポイエーシス論を用いた説明を試みることにします。

１．細胞内共生説

まずは細胞内共生説をざっとおさらいしておきましょう。現在は高校生物でも習うほど一般的な考え方として受け入れられています。細胞内共生説をざっとまとめると下のようになります。

  • 細胞内共生説：現存の真核生物のミトコンドリアと葉緑体は、それぞれ好気性細菌とシアノバクテリアが、宿主細胞に入り込み共生するようになったものである。

このように考えられるようになった理由は、ミトコンドリアや葉緑体が独自のDNAとリボソームを持つことが大きいです。そして実際にミトコンドリアや葉緑体の独立性が高く自律的に分裂や融合を繰り返していることがあきらかになっています。宿主細胞の祖先に関しては、現存の生物では古細菌がもっとも系統的に近いと考えられています。共生が成立した時点で、核や小胞体などの細胞小器官を持つ真核生物だったかどうかは、意見が分かれているようです。

ミトコンドリアを持たない真核生物はけっこう存在するようで、ゾウリムシもその一つです。あれだけ高機能な単細胞生物がミトコンドリアを持たないのですが、体制化が進んだ多細胞生物はミトコンドリアを持つので、その後の多細胞生命システムの成立に、ミトコンドリアが大きな役割を持っていたのは確かでしょう。

２．ミトコンドリアと細胞全体との関係

葉緑体と細胞全体の関係はミトコンドリアと細胞との関係で代替できるはずなので、葉緑体は置いておいて、ミトコンドリアと細胞全体との関係を考えることにします。

細胞生物学の本（参照文献１）の情報をもとにすると、ミトコンドリアは独自のDNA、リボソームを持っています。ミトコンドリア自体がタンパク質等を生成しているはずですが、細胞質の方から、解糖で生じた代謝産物や水素受容体、遊離リボソームで作られたタンパク質を輸送されているみたいです。またクエン酸回路の他にも尿素回路とかの代謝経路も持ってるそうです。以上のことから、ミトコンドリア自体が自律的に活動しながらも、細胞環境にも依存しているのは間違いないでしょう。ミトコンドリアと他の細胞小器官、細胞全体との関係はお互いに環境になっていると考えられます。

３．構造的カップリングによる説明

まずミトコンドリアの元になった原核生物のことを「原ミトコンドリア」としておきます。原ミトコンドリアも宿主細胞も個々の細胞であり、別個の細胞どうしによる新たな細胞システムが成立しています。オートポイエーシス論で類似のシステムは多細胞生命体システムです。山下和也による考え方では各細胞の構造的カップリングによって多細胞生命体システムが考案されていました。しかし新たな構成素が器官とされているなど、細胞内共生説にそのまま適用できそうもありません。構造的カップリングによる説明を試みるには、新たな構成素とプロセスを考える必要があります。

関連ページ：多細胞生命体システム、構造的カップリング

細胞内共生で何が起こったかというと、原ミトコンドリアの環境（宿主細胞内部）と宿主細胞の環境（主に細胞質）に変化が生じて、両者が自律的に応答することで環境変動と自律的応答状態の閉域（再帰性）が成立して維持されるようになったということです。結局のところ構成素は、両者に共通する環境変動のことで、プロセスの方は、環境変化に対して、自律的に原ミトコンドリアと宿主細胞が応答して、環境を次の状態に変化させることでしょう。環境変動が結果として円環をなしたとき、原ミトコンドリアと宿主細胞を含む新たな細胞システムが成立しているはずです。

ここでいったん細胞システムや多細胞生命体システムを離れ、社会システムを振り返ります。社会システムの構成素は個人そのものではなく個人間のコミュニケーションでした。コミュニケーションと呼ばれるものは、個人が自分の周りの人達の行動を見ながら、目の前の人への対応を自律的に変化させることと言ってもよいでしょう。周りの人たちの行動も環境とみなせるでしょうし、それに加え彼らの活動による実際の周りのものの変化も環境です。ある個人の行動が周りの人の環境を変化させ、次の行動を生み出して連鎖して循環していくこと、コミュケーションを構成素とするシステムとは、実質このような事態のことです。

関連ページ：ルーマンの社会システム論

そうすると個人どうしの構造的カップリングと、原ミトコンドリアと宿主細胞との間の構造的カップリングはそんなにかわらないかもしれません。「原ミトコンドリアと宿主細胞とのコミュニケーション」という表現も可能かもしれませんが、コミュニケーションの定義がないとわけがわからなくなってしまいそうです。「コミュケーション」みたいな簡潔な言葉で表現できれば楽ですが、この言葉は使わないことにします。

以上より、細胞内共生説を構造的カップリングにより記述すると、以下のようになります。

  • 細胞内共生による新たな真核細胞システムの成立：宿主細胞に入り込んだ原ミトコンドリアと宿主細胞双方の環境に変化が生じ、両者の自律的応答による環境変動と応答状態の閉域（再帰性）が成立して維持されるようになったもの。構成素を両者に共通する環境変動、プロセスを環境変動への自律的応答によるさらなる環境の変動をもたらすこととする、原ミトコンドリアシステムと宿主細胞システムの構造的カップリングによる。

実のところ、わざわざオートポイエーシス論で記述する必要があるのかと思えてきます。いったん社会システムの再考まで行った後で振り返ろうと思います。

４．参照文献

参照文献１：江島洋介『これだけは知っておきたい　図解細胞生物学』（オーム社）、Q2-7、Q3-4

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複素数の掛け算と割り算

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１．複素数どうしの掛け算と割り算

複素数どうしの掛け算と割り算は、極形式で考えると理解と計算が容易になります。結論を先にいうと、Z=r(cosθ+isinθ)を掛けるとr倍で正方向（左回り）にθ回転（図1(a)）、Zで割ると1/r倍で逆方向にθ回転します（図1(b)）。中学数学で-1を掛けると数直線上を逆方向に移動すると学びました。これを180度回転すると解釈すれば、i2=-1でiを2回かけて180度回転なのだからiをかけて90度回転する、と考えると中学数学との接続も可能だったりします。こういう思考実験も楽しいものなので、興味があれば暇なときにやってみてください。

関連ページ：負の数の割り算

２．r倍とθ回転すればよいことの証明

掛け算ならr倍してθ回転すればよい、というのはすごく都合のよい安直な設定に思えますが、実はけっこう簡単な証明でこのことを示せます。せっかくなので下に証明を示しておきます。証明には三角関数の加法定理を使います。

\begin{align} Z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)，Z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)とおく\\ Z_1 \cdot Z_2=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) \cdot r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\\ =r_1 \cdot r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2+i\cos\theta_1\sin\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2+i^2\sin\theta_1\sin\theta_2)\\ =r_1r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2+i\cos\theta_1\sin\theta_2)\\ =r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))\\ \\ \frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)}\\ =\frac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2-i\sin\theta_2)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)(\cos\theta_2-i\sin\theta_2)}\\ =\frac{r_1(\cos\theta_1\cos\theta_2-i\cos\theta_1\sin\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2-i^2\sin\theta_1\sin\theta_2)}{r_2(\cos^2\theta_2-i^2\sin^2\theta_2)}\\ =\frac{r_1(\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2-i\cos\theta_1\sin\theta_2)}{r_2(\sin^2\theta_2+\cos^2\theta_2)}\\ =\frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2))\\ \end{align}

割り算の証明の方が難しくて、分母分子に(cosθ2-isinθ2)を掛けるのは二乗-二乗の公式とi2=-1を利用して、分母にsin2θ+cos2θ=1の公式を使うためです。同時に分子において、加法定理を使ってcos(θ1-θ2)とsin(θ1-θ2)の形を作るためでもあります。この辺の操作は、目的の形になるために何が必要か、式をよく眺めて見つける必要があります。こういう式変形はよく必要となるので、証明で練習しておくのも手です。

関連ページ：三角関数の公式1、加法定理

３．具体的な計算例

具体例を一つ計算してみましょう。A=1+iとB=√3+iの掛け算A・Bを計算すると下のようになります（図2）。

\begin{align} A=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)\\ =\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\\ B=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)\\ =2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})\\ A \cdot B=\sqrt{2}\cdot2(\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}))\\ =2\sqrt{2}(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}) \end{align}

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複素数の極形式

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１．複素数の極形式

複素数の掛け算、割り算の前に、複素数の極形式を導入しておきます。複素数は実軸と虚軸に分けて、平面上の点として考えることができるのでした。実軸上の原点からの大きさと虚軸上の原点からの大きさの組で表現しているのですが、この二つの値の代わりに複素数の絶対値（大きさ：原点とその複素数の点を結んだ距離）と、実軸との角度で表現するのが、複素数の極形式です。図の方がわかりやすいので、図1で説明します。

図１(a)のように複素数A=1+iのとき、Aの絶対値は√2で、実軸と線分OAとの角度θはπ/4です。このとき半径r=√2の円を描くときの角度θがπ/4と考えます。この二つの値の組が決まると、この組を表現する複素数平面上の1点が決まります。(x, y)の組と(r, θ)の組、どちらも同じ一つの複素数を表現しています。

極形式の場合の複素数の一般的記述は、B=r(cosθ+isinθ)として書きます。図1(b)において、三角比の知識を使えば、x座標はrcosθ、y座標はrsinθであることがわかります。このxとyの値をB=x+yiに代入して整理すると、B=rcosθ+(rsinθ)i=r(cosθ+isinθ)となります。sinθiだとsinの角度がθiということになってしまうので、sinθ×iはisinθと書く決まりになっています。A=1+iを極形式で書くと、A=√2(cos(π/4)+isin(π/4))となります。

２．極形式と平面形式の間の変換

一つの複素数が両方の表現を持つので、両者の表現の間を自由に行き来できるようにしておく必要があります。極形式を平面形式に直す場合は、図1(b)のときのように、三角関数の知識を使って図形的に考えると楽です。具体例C=2(cos(π/3)+isin(π/3))を変換してみます。複素数Cは図2(a)のようになるので下のように変形できます。

\begin{align} C=2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})=2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\\ =1+\sqrt{3}i\\ \end{align}

極形式に直すときは少しだけ面倒で、まず複素数の絶対値を求め、絶対値で括り出した後、cosとsinに変換します。複素数C=1+√3iをさっきとは逆に、極形式に直してみましょう（図2(b)）。

\begin{align} C=1+\sqrt{3}iより\\ r=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{4}=2\\ よってC=2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\\ =2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}) \end{align}

最後のcosとsinに変換するところが少し難しいですが、θが同じ値になることから見つけられます。cosθ=1/2となるθはπ/3か5π/3で、sinθ=√3/2となるθはπ/3か2π/3です。両方に共通するのはπ/3より、極形式の角度θ=π/3となります。図2(b)のように1:2:√3のよく知る直角三角形の形になっているので、図形的に見つけてもよいです。それから、本当は何回転もできるのでθ=π/3+2nπとなるのですが、一般にθは0≦θ<2πで考えるので、θ=π/3だけでよいです。

角度θがよく知られた値でないとき、たとえばD=3+4iの極形式は、θの値を明示できないので、E=5(cosα+isinα）（ただしαはtanα=4/3を満たす）のように書きます。

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言語の獲得過程

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１．発達心理学での前提を知ること

このページでは、言語と呼ばれるもろもろの事項を子どもがどのようにして獲得していくのか、発達心理学でどのように考えられているかを示そうと思います。現代の心理学なので、当然、実験を行いその結果をもとに考え方を提示しているのですが、実際の実験の紹介やその解釈における疑問点などは次ページに紹介しようと思います。

どの学術分野でも、その分野一般に受け入れられている前提があります。実験のほとんどは、その前提をもとに立てられた仮説を検証するために行われるものです。分野に関係なく、各分野で広く受け入れられている基底的思想を読み取ることが、その学術分野を知る、学ぶことの重要課題です。受け入れられている前提が正しい確証はありませんが、いったんそのことの是非は置いておきます。このページでは発達心理学に共通して見られる（と自分が思っている）考え方を提示することを、最終の目標とすることにします。

２．言葉の獲得を調べるにあたっての原則：分割できそうなものは分割してしまう

心理学は社会科学と呼ばれる分野の一つでもあって、自然科学などと方法を共有する部分が大きいです。科学においては、分割できるものは分割して後で足し合わせる、という方法がよくとられます。理工系では、こういう方法が適用できる対象の性質を「線形性」と呼ぶことが多いです。

言語の獲得に関しては、獲得される言語の特性として、音韻、身振り、言葉（語彙）、文法等に分割がされているようです。分割の仕方は他にもあるでしょうが、研究のしやすさなどの観点から、自然とその分割の仕方に収束していたりします。このあたりの事情はどの分野でも変わらないでしょう。ちなみに、分節するごとに意味が変質し足し合わせにより元に戻らないような場合（多様体、非線形性）はどうするのか、という問題がありますが、いったん置いておきます。

３．音韻、語彙の獲得

子どもは通常2歳から3歳までには、言葉の意味を（自分なりに）理解して使用を開始します。我々が言葉と呼んでいるのはろう者などを除いて連続的な音のつながりです。各言語体系ごとに使用する音に違いがあるので、言葉の獲得の際には音韻の違いも獲得しているはずです。そして音韻の獲得と共に、音節数が数個の短い言葉（文？）が使用されます。まず音韻、次に言葉の獲得に関する考え方を紹介します。

３．１　音韻の獲得（参照文献１、第２章）

子どもが言語の獲得で耳にしているのは連続の音声です。大人との会話を繰り返すうちに、自然と連続した音声に区切り（音節）を入れて認識するようになる、と推測できます。音節の獲得は、0歳児を対象とする研究から、プロソディー（prosody, 韻律）と呼ばれる、音の高低や速度、長さなどの情報を手がかりとして行われていると考えられています。それに加え、各音節間でどの音韻が連続する確率が高いかといった、統計情報も同時に利用していると考えられます。

音韻の聞き取りはかなり早い段階から始まり、母音と子音の聞きわけは、生後1ヵ月から3ヵ月の間には成立しているようです。獲得の手がかりとして、音響的な特性を利用していると考えられますが、他にも養育者による強調した語りかけ方など、社会的な関わり合いが作用していることも、実験結果から示唆されています。

３．２　語彙の獲得（参照文献１、第４章）

子どもはことばを発する前からある程度ことばを理解していると思われる行動をとります。ここでは子どもが言葉を発することに着目します。

子どもが発する初期の言葉の特徴として、ヒト、動物、食べ物、乗り物、からだの一部、挨拶などの言葉が多いことが挙げられます。といっても、子どもの言葉が大人の言葉と一致しているわけではなくて、大人よりも適用範囲が広いという特徴が見られます。たとえば「ワンワン」でイヌだけでなくウマ、ウシ、ネコなどのあらゆる四足動物を表現していたりします。言葉の適用範囲は、その子どもごとに、何かしらの規則性によって区切られているようです。

子どもが獲得する言葉は抽象的な言葉より事物名称が多いですが、事物名称といっても対象はいろいろな性質を持つので、実際にその言葉が何を表しているか学ぶのは簡単なことではありません。言葉を獲得し始めたばかりの子どもが仮説検証などの知的操作により言葉を獲得しているとは思えません。そこで何かしらの制約を用いて語の意味を推測している、という考え方が生じてきます。そういった考え方の一つに、「事物全体制約」、「カテゴリー制約」、「相互排他性」の三つの制約があります。事物に言葉を与えられたときに、それはまずその事物全体を指す言葉で、よく似たもの全般がそこに含まれ、一つの事物には一つの名前がつく、という制約を自然と利用しているというものです。しかしこういった制約を増やしていっても、まだ事物名称の獲得には不十分な情報しか与えられていません。

しかし不十分な情報しか与えられないにもかかわらず語彙は獲得されていきます。実際には明示的な名付け行為はそれほど行われておらず、さまざまの大人の行動を統制している大人の「意図」を読みとることが重要だと考えられます。実験結果から、わずか２歳になったばかりの子どもでも、大人が嬉しげに興奮した様子だったり、反対に悲しげでがっかりした様子など、バラエティーに富んだ手がかりを使いこなして言葉を獲得していることが示唆されています。

３．３　指さし・身振りの表出（参照文献１、第３章）

言葉の獲得に際して、音韻や語彙の使用と並行して現れるものに身振りがあります。子どもが言葉を獲得する際に、何かしらの役割を担っている可能性があります。

観察結果により、子どもは言葉を使う前から、指さしを使ってコミュニケーションを始めると考えられています。そして言葉を使用しはじめた後も、指さしや身振りは語彙の不足を補うものとして使用され続けます。一語文を発話する段階では、指さしがその言葉と組み合わせて使われることが多くなります。その後、二語発話が現れるようになると、子どもの身振りは言葉と独立していき、成人の身振りに近いものに変わっていきます。

４．発達心理学に共通して見られる（と思われる）考え方

まず、前ページ「従来の心理学における言語獲得理論」を振りかえります。従来の言語獲得の考え方として、観念連合による考え方と普遍文法による考え方が、参照文献である『新・子どもたちの言語獲得』において批判されていることを示しました。これらの考え方に代わる著者たちの考え方が、第2章から第４章まで（このページの２．１節から２．３節まで）で、すでに提示されています。

音韻の獲得では、養育者による強調した語りかけ方など、社会的な関わり合いが作用していること（２．１節）、語彙の獲得では大人の様子から読み取った大人の意図を手がかりにしていること（２．２節）が示唆されていました。さらに指さしや身振りがコミュニケーションを補うものとして使われているのでした（２．３節）。前ページで示したように、人間は周りの世界へと注意を向け他者の意図を知ろうとする基盤的能力を生得的に持っていて、他者とのコミュニケーションを通した相互作用により、他者と共有される世界を受け容れる、というストーリーが見出せます。

もちろん心理学という分野なので、このストーリーの裏付けとなる実験結果が存在します（次ページで一部紹介する予定）。しかしどの分野でも、実験というものはある考え方を実証するために行うもので、実験結果から示唆される考え方の方が実験の前よりあるものです。先入観により、複数の可能性のうちの一部のみを対象に実験を行い、他の可能性を無意識に排除してしまう、そしてそのことを自然科学の手法を導入したがゆえに気づかない、という危険性がつきまといます。どの分野の入門書でも、この危険性を頭の片隅に置いて読まないといけないでしょう。

５．参照文献

参照文献１：『新・子どもたちの言語獲得』（小林晴美、佐々木正人編著、大修館書店）　書評と要約

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