近代の哲学まとめ2(西洋近代形而上学)

近代の哲学まとめ二回目は西洋近代形而上学についてです。「西洋近代」の形而上学の特徴として、イデア主義、理性(知性)主義、物質的自然観の三つを挙げることができるでしょう。この三つの特徴は深く結びつきますが、お互いに関係し合うことが必須というものでもありません。デカルトの時代から、近代形而上学の完成者と呼ばれるヘーゲルの時代まで、上記三つの特徴との関わり合いの視点でまとめてみることにします。

1.デカルトの時代

デカルトの「コギト」をざっくりまとめてみると「疑い得ないと思っていた世界の実在とかも本当は怪しいけども、それを怪しんでいる限り、怪しむという働きである私の精神は実在しているでしょう」ということです。デカルトは人間理性は確実に実在すると確信しており、彼にとって人間理性は「神の理性のミニチュア」です。そして彼の考えでは、人間理性の最たるものである数学的諸観念は神の与えた世界の性質と関係しているので、数学的諸観念は生得的でありかつ自然的対象にも適用しうることになります。神の理性を後ろ盾にしてはいますが、人間理性は余すことなく世界を認識できる、超越論的知性です。デカルトはイデア的に存在する理性によって、精神とは明確に区分される物質として自然の研究を行っています。

関連ページ:デカルトのコギト基体としての人間理性

デカルトと同時代のスアレスや、デカルトの影響を受けたマールブランシュは、イデア論的に認識の成立を考えています。スアレスでは個体化の原理にかかわる議論において、個体が個体であるために「ない」という実体が必要と考えられています。またマールブランシュは対象の認識に対して、ものの本質たる観念(イデ)とその代理である完全なる神の観念(イデア)の関係で説明しようとしています。彼はデカルト以上にイデア主義的であったと言えるでしょう。

関連ページ:近代形而上学のイデア的認識

2.カント

デカルトの頃では神的理性の後ろ盾があったので、人間の認識の確実性が保証されていました。カントは神的理性の媒介を拒否しながら、その認識の確実性を保証するために、『純粋理性批判』で理性の自己批判を行います。

カントもデカルトと同じように人間理性の限界を見て取っています。カントによると、物それ自体である「物自体」は人間には認識できず、人間が認識しているのは理性の形式によって現れる世界、「現象界」です。理性の形式である純粋悟性概念は人間が先天的に持つもの(とカントは考えています)なので、人間の認識に現れる現象界の方なら確実に認識しうることになります。こうして現象界限定で、神的理性の後見なしに確実な認識が保証されます。

関連ページ:人間理性の限界

3.ヘーゲル

悟性の12のカテゴリーを固定されたものではなく、人間の精神の成長とともにそのカテゴリーも拡張されていくと考えれば、物自体のような根源的に接触不能な領域は減少していくと考えることもできます。個々の認識主観と自然界との関係においてはこの事態は考えづらいことですが、世界の方を自然的世界ではなく歴史的世界とみなすと、この解釈も可能になってきます。

それに関するヘーゲルの有名な議論が「弁証法」です。弁証法によって、対立関係にある二つの対象は、その対立そのものを包括して統一され、その繰り返しによってより一全体的統一へと生成していきます。ヘーゲルは精神をより成長していく生成運動とみなしており、労働を通しての自然と精神との弁証法により、自然も精神も成長していくはずです。そしてこの働きかけの最後には、精神は絶対の自由を獲得して絶対精神となり、世界の方もその歴史が完成することになります。こうして人間理性において歴史的世界の合理的形成能力が約束され、歴史的世界に対する超越論的主観としての位置を保証されたことになります。

関連ページ:近代形而上学の完成

4.形而上学的思考

イデア主義、理性主義、物質的自然観の三つの特徴を最も強く帯びているのはデカルトの思想です。彼に続く形而上学的思考は単線的にこれらの特徴を引き継いでいるわけではないでしょう。カントは確実な認識ができる世界を現象界に限定しましたし、ヘーゲルはある種生命論的な生成運動としての世界を見いだしていました。しかし超越論的な思索という点においては、あくまで神の理性を後ろ盾にした超越論的知性から、現象界に限定されながらもそれ自体で確実な認識を与える人間理性、そして労働により完全となった自然を余すことなく認識できるやはり完全な人間理性という形で、デカルトからヘーゲルまでに一つの思索の流れを見ることができます。

5.形而上学と神学

形而上学は感覚や経験を超える原理を措定する超越論と考えることができます。プラトンのイデア論を批判的に摂取したアリストテレスにも、純粋形相というイデア的超越論的概念が存在しました。プラトンとアリストテレスの思想を受け継ぐ近代哲学が形而上学的な思索であることは当然のようにも思えますが、ライプニッツ、後期シェリングのようにそこに包含できそうもない哲学者たちもいます。

また近代形而上学の完成者たるヘーゲルにも生成運動する自然を思わせる思考があります。世界の成り立ちを説明しようとする彼らのある種神学的思考が、形而上学とどのような関係にあるのか、残念ながら私に説明することはできそうもありません。

  • 参照文献1:木田元『反哲学史』(講談社学術文庫)
  • 参照文献2:熊野純彦『西洋哲学史 近代から現代へ』(岩波書店)

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90°-θの三角比

前回は角度が180°-θの三角比をθを使って簡単に表現できることを示しました。前回と同様に図形的に考えることで90°-θの場合も角度θの三角比で表現できます。

今回もまずθを0°<θ<90°で限定しておいて考えます。図1(a)に角度が90°-θの場合を示しています。図よりsin(90°-θ)=y/r、cos(90°-θ)=x/r、tan(90°-θ)=y/x…①です。このとき角度θの直角三角形が図1(a)のようにできています。そのままだと見づらいので、図1(b)に左右反転して90°回転した図を示しています。反転して回転したために、図1(a)の横軸xが縦の長さ、縦軸yが横の長さになっています。したがって図1(b)での三角比はsinθ=x/r、cosθ=y/r、tanθ=x/y…②です。①と②を見比べるとsin(90°-θ)=y/r=cosθ、cos(90°-θ)=x/r=sinθになっていることがわかります。tanはちょっとだけ式変形が必要で、tan(90°-θ)=y/xの右辺の分母分子をyで割ると1/(x/y)となり、tanθ=x/yを代入してtan(90°-θ)=1/tanθです。今述べたことをまとめると下のようになります。

\begin{align} \sin(90°- \theta)=cos\theta\\ \cos(90°- \theta)=sin\theta\\ \tan(90°- \theta)=\frac{1}{\tan \theta} \end{align}

公式として覚えてもよいですが、図形で考えて出せるので毎回図形的に考えて変換するのでもかまいません。

上記の関係もθがもっと幅広い値のときでなりたちます。こちらも三角関数のページでもう少し詳しく説明しようと思います。

<< 180°-θの三角比 三角方程式 >>

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180°-θの三角比

前回、θ=180°まで拡張した場合の三角比は図形で考えるとわかりやすいことを示しました。同様に図で考えると、角度が180°-θのときの三角比をもっと簡単に示すことができます。

わかりやすいようにひとまずθを0°<θ<90°の範囲に限定します。図1に示すように、角度が180°-θのときにできる直角三角形は、角度θの直角三角形を左右反転した形をしています。ということは角度が180°-θの場合とθの場合を比較すると、180°-θのときに横の辺の値が-x、θのときにxになることを除いて同じです。結局のところxの値が関係するcosとtanの符号を変えるだけで、180°-θの三角比をθの三角比に変換することができます。角度θの三角比は下になります。

\begin{align} \sin \theta =\frac{y}{r}, \cos \theta = \frac{x}{r}, \tan \theta = \frac{y}{x}\\ \end{align}

上の三角比の値を代入することで、角度180°-θの三角比は下のように変換できます。

\begin{align} \sin (180°- \theta) =\frac{y}{r}=\sin \theta\\ \cos (180°- \theta) = \frac{-x}{r}=-\frac{x}{r}=-\cos \theta\\ \tan (180°- \theta) =\frac{y}{-x}=-\frac{y}{x}=-\tan \theta\\ \end{align}

公式として覚えてもよいのですが、図形で考えればこの関係をその都度導き出すことができます。慣れればすぐに変換することができるので、特段公式として覚える必要はないです。

最初に0°<θ<90°に限定しましたが、本当はθの角度はもっと幅広い角度で上の関係が成り立ちます。数Ⅱの三角関数で360°以上まで拡張するのでそのときにもう一度考えることにします。また証明もそのときに出てくる加法定理で行えます。
<< 三角比の180°までの拡張 90°-θの三角比 >>

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三角比の180°までの拡張

三角比は直角三角形の辺の比で定義されているので、このままでは0°より大きく90°より小さい角度しか表現できません。そこで半円上の点と半径をもとにして、0°以上180°以下まで表現できるように拡張されます。

図1において、半円上の点と原点を結び、x座標に向かって垂線を下ろします。こうすると直角三角形ができて斜辺が半径r、横の辺の長さがx座標、縦の辺の長さがy座標で表現できます。図1の場合の三角比の値は次のようになります。

\begin{align} \sin \theta =\frac{y}{r},\cos \theta = \frac{x}{r},\tan \theta = \frac{y}{x}\\ \end{align}

r、x、yで三角比を表現できれば角度θが0°のときも定義できますし、90°以上180°以下のときも定義できます。

図2でθ=0°のときはx=r、y=0となるので三角比の値は次の通りです。

\begin{align} \sin \theta =\frac{0}{r}=0\\ \cos \theta = \frac{r}{r}=1\\ \tan \theta = \frac{0}{r}=0\\ \end{align}

θ=90°のときはx=0、y=1となるので三角比の値は次の通りです。

\begin{align} \sin \theta =\frac{r}{r}=1\\ \cos \theta = \frac{0}{r}=1\\ \tan \theta :なし \end{align}

xが0であり、このときtanθ=y/xは「なし」と定義されています。

θ=180°のときはx=-1、y=0となるので三角比の値は次の通りです。

\begin{align} \sin \theta =\frac{0}{r}=1\\ \cos \theta = \frac{-r}{r}=-1\\ \tan \theta =\frac{0}{-r}=0\\ \end{align}

θが90°より大きいとき、x座標が負になるのでcosの値は負になっています。tanの値も90°<θ<180°のとき負になり、180°のときは0になります。

図3にθ=60°と120°の場合を示しています。三角比はあくまで比の値なので、半径rがどの大きさでも角度θが同じであれば三角比は同じ値です。θ=60°のときはよく知っている1、2、√3の比の形になっているのでsinθ=√3/2、cosθ=1/2、tanθ=√3です。θ=120°のときもθ=60°の直角三角形ができるのでこの比を使えばよいのですが、横の辺の長さはx座標であり-1です。実際の図形では長さは正なのですが、この場合は便宜上負の長さも定義している、くらいに考えておいてください。θ=120°の三角比の値は、sinθ=√3/2、cosθ=-1/2、tanθ=-√3になります。xの値が1から-1に変わっているので、cosとtanの値がθ=60°のときの値に-1をかけた値になっています。θ=135°、150°のときもそれぞれθ=45°、30°の直角三角形を、図3のように左右反転した直角三角形で考えてみてください。

<< 三角比と辺の長さ 180°-θの三角比 >>

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三角比と辺の長さ

三角比を使ってわかっていない辺の長さを簡単に求めることができたりします。測量とかいろいろに使われていて、高校の学習内容としては力学の力の分解とかで使うことになると思います。

図1の直角三角形で、斜辺と角度がわかっているので、縦の辺yと横の辺xの長さは下のように計算できます。

\begin{align} y=4 \cdot \sin 30° \\ = 4 \cdot \frac{1}{2} \\ =2\\ x=4 \cdot \cos 30°\\ =4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ =2\sqrt{3} \end{align}

sinの値は(縦の辺)/(斜辺)で求められていて、この値は斜辺を1としたときの縦の辺の長さ、または縦の辺は斜辺の何倍になっているかを表現しています。sin30°=1/2なので、このとき縦の辺は斜辺の1/2の長さです。斜辺の長さ4でその1/2が縦の辺の長さなのだから、4×(1/2)で縦の辺の長さがわかります。横の辺の長さもcosを用いて全く同様に求めることができます。三角比の表には0°から90°まで1°ずつsin、cos、tanの値がまとめてあるので、この表を使えば30°のような値がすでにわかっている場合以外でも、同様にして辺の長さを求めることができます。

図2の場合はちょっと求めづらくて、一度下のように三角比の定義から式を立てて、それを解いてみてください。

\begin{align} \frac{3}{x}=tan40°=0.8391(三角比の表より)\\ 3=0.8391x\\ x=\frac{3}{0.8391}\\ =3.6 \end{align}

<< 三角比とは 三角比の180°までの拡張 >>

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