数列の和

数列の和の方がわかっているときに、その数列の一般項を求めることができます。初項から第n項までの和をS_nとすると、n-1項までの和はS_n-1と書けます。n-1項までの和がS_n-1なので、それに第n項a_nを足せばS_nになります。式で書けばS_n-1+a_n=S_nです。移項して式変形すればS_n-S_n-1=a_nです。あたりまえと言えばあたりまえですが、この公式でS_nからa_nを求めることができます。ただし注意点があって、式の中にn-1項の部分があって、第1項から始まるという条件からn-1が1以上、つまりnが2以上という条件がつきます。まとめると公式は次のものです。

\begin{align} n≧2のとき\\ S_n-S_{n-1}=a_n \end{align}

第1項のa₁についてはa_nを求めたあとで、その式から求めたa₁が適切であるか確認しないといけません。S₁は初項だけの和？なのでa₁でもあります。S_nがわかっている場合はS₁=a₁が定められた値なので、求めたa₁とS₁が一致するか確認する必要があります。

実際に問題を一題やってみましょう。S_n=n²-3nのときa_nを求めるとします。解答は下のようになります。

\begin{align} n≧2のときS_n-S_{n-1}=n^2-3n-\{(n-1)^2-3(n-1)\}\\ =n^2-3n-(n^2-2n+1-3n+3)\\ =n^2-3n-(n^2-5n+4)\\ =2n-4=a_n\\ S_1=1^2-3\cdot1=-2、2\cdot1-4=-2と一致することより\\ a_n=2n-4 \end{align}

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