反比例 - 一年 - 趣味で学問

反比例

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目次

1.反比例

y=ax(aは定数)の形のxとyの関数を比例と呼びます。この式では、変数yは定数aと変数xの積の形をしています。それに対してy=a/xというxで割った形の関数を反比例と呼びます。

具体例、

\begin{align} y=\frac{6}{x}…① \end{align}

の式で考えてみます。

2.表から考える

いくつかのxの値に対するyの値を表1に示します。

表1 y=6/xを満たすxとyの値
x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6
y -1 -2 -3 -6 6 3 2 1

まずはxが0より大きい場合を見てみます。表1ではx=1のときy=6で最大で、x=2のときy=3、x=3のときはy=2というふうにxの値が大きくなるごとにyの値が小さくなっていきます。式を見て考えてみると、y=6/xという関数は6をxで割っているので、割る数xが大きいほど小さくなり、割る数xが小さいほど大きくなります。

3.表からグラフを考える

xが0より小さいときは、xが0より大きいときの値に-がついた値になっています。表1の値をグラフの上に打ってみると、図1(a)になります。xの値を整数だけでなくもっと細かくとってみると、①の式は図1(b)のような二つの曲線としてxy平面上に描けることがわかります。

0でわることはできないので、xが正のときは、0に近づくほど、つまり小さくなるほどyの値は大きくなり、逆にxの値が大きくなるほどyの値は小さくなります。xが負のときは、0に近づくほど(大きくなるほど)yの値は小さくなり、xが小さくなるほどyの値は0に近づいていきます。

4.比例と反比例

y=axとy=a/xはそれぞれ、比例と反比例という対立する言葉で表現されています。ここで

\begin{align} I=\frac{V}{R}…② \end{align}

の関数を使ってこの二つの関数の特徴を考えてみましょう。I、V、Rの三つの文字を使ったのには理由があって、Iを電流、Vを電圧、Rを抵抗とすると、実際の電気回路でも②の関係式が成り立っています。電圧や電流を負の値で考えることもできるのですが、簡単のためIもVも0以上とします。

まずRを固定して定数とみなしてみます。そうすると1/Rも定数になって、②の式はy=ax(I=(1/R)V)と同じ形になっています。流れる電流Iは電圧Vの比例関数で表現されているので、電圧Vが0のときは電流Iも0で、かける電圧に比例して流れる電流が大きくなっていくことを示しています。今度はVを固定して、回路の中の抵抗の値を変えることにします。そうすると、y=a/x(I=V/R)つまり反比例の式と同じ形になっています。抵抗Rの値が小さいほど大きな電流Iが流れて、抵抗Rが大きいほど(Rに反比例して)、流れる電流が小さくなることを示しています。この式の形から、電流Iは分子に電圧Vがかかった形をしているのでVに比例して大きくなり、抵抗Rで割った形をしているのでRが大きくなるほど小さくなっていくことが示されています。

こんなふうに式の形を見て関数の挙動が予測できると、本に書かれた数式が何を表現しているかを読み取るのに役立つし、逆に現実の対象をどのように式の形で表現したらよいか見つけるのにも役立ってくれます。実際の現象における量的関係を数式表現すると、眼がくらむほどの複雑な形になることも多いのですが、それでもこういった地道な作業の繰り返しで、複雑な式の意味が見えてくるようになるのも確かです。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と大学数学も入門を書く予定。いつの日か。

3 thoughts on “反比例

  1. ≪…比例と反比例という対立する言葉で表現…≫をウマクウマク纏め上げ普遍言語化しているのが[数の言葉ヒフミヨ(1234)]である。

  2.  ≪…比例と反比例という対立する言葉で表現…≫を内在化している眺望は、「数のヴィジョン」になるとか・・・

     自然数のキュレーション的な催しがあるといいなぁ~

  3.  [ アンコンシャスバイアスに気づこう!の日(8月8日 記念日)] より:

     ≪…比例と反比例…≫を、数学からの送り返して来たモノとして眺めると・・・
    自然数の創生に・・・

    ・・・ ・・・ ・・・ 
    1. 数学的な定義:円錐曲線の一つ
    双曲線は、数学では円錐曲線の一つとして定義されます。
    円錐曲線を理解するには、円錐をイメージし、それを平面で様々な角度で切断したときの断面を考えると分かりやすいです。

    円: 垂直に切断した断面。
    楕円: 斜めに切断した断面(軸に対して)。
    放物線: 軸と平行に切断した断面。
    双曲線: 軸と垂直ではない角度で、円錐の二つの部分をどちらも横切るように切断したときに現れる、二つの対になった曲線です。

    この二つの対になった曲線は、それぞれが広がり続け、無限に遠ざかっていきます。

    2. 天文学的な意味:「脱出」の証明
    天文学において、天体の軌道形状は、その天体の離心率 (e)という値によって決まります。これは、天体が中心天体の重力にどれだけ強く「束縛されているか」を示す指標です。
    双曲線とは (1)

    3I/ATLASなどの恒星間天体は、太陽系とは無関係の遥か遠い別の恒星系から、非常に速いスピード(脱出速度以上)で太陽系に進入してきました。

    そのため、太陽の重力ではその進路を少し曲げることしかできず、重力的な束縛を受けません。その軌道はe > 1 の双曲線となり、一度太陽の近くを通過すると、そのまま二度と戻ることなく銀河系の彼方へと去っていくのです。

    これが、双曲線軌道を持つ天体を「宇宙の旅人」と呼ぶ理由です。
    ・・・ ・・・ ・・・ 
    [ 離心率 (e) ]が、数の言葉(自然数)とインターラクトしている気付きを教えていただきありがとうございます。
     標高差が光格子時計でワカル時代になり、[数の旅人]もこんなように想います。

     円(コスモスな自然数)  ⇒  放物線(2次方程式) ⇒ 双曲線(反比例曲線) 

     この旅路を逆に辿ると数の言葉ヒフミヨからの自然数の眺めに。

    直交座標での反比例曲線を45°(π/4)回転の操作すると、双曲線と漸近線(正比例直線)の眺めに、反比例曲線と正比例直線とのインターラクトが数の言葉の旅路の始まりに。

    そして、2次方程式の因数分解と円のインターラクトが放物線の焦点と準線で直交座標を成り立たせている。

    直交座標から切り出された『自然比矩形』(1×(e-1))と円のインターラクトが4次元で閉じている数の言葉ヒフミヨからの自然数の眺めに、≪…離心率…≫をあらためて想う・・・

     [ヒト]の脳は、重力を無意識に深く深く取り込んでいるのだろう・・・

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