ド・モアブルの定理

サイト全体を見たいときはサイトマップをご覧ください。

目次

• １．ド・モアブルの定理
• ２．ド・モアブルの定理の利用例

１．ド・モアブルの定理

複素数の掛け算と割り算から、ド・モアブルの定理を理解することができます。ド・モアブルの定理を下に示します。

\begin{align} ド・モアブルの定理： (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta (nは整数） \end{align}

(cosθ+isinθ)²なら(cosθ+isinθ)に(cosθ+isinθ)をかけるので、絶対値は1のまま、θに+θ回転して、cos(θ+θ)+isin(θ+θ)=cos2θ+isin2θとなります。(cosθ+isinθ)ⁿならこれをn回繰り返すのでcosnθ+isinnθです（図１）。

ド・モアブルの定理そのものではないですが、z=r(cosθ+isinθ)のとき、zⁿはr(cosθ+isinθ)・r(cosθ+isinθ)・r(cosθ+isinθ)…=rⁿ(cosθ+isinθ)ⁿとなって、zⁿ=rⁿ(cosnθ+isinnθ)となります。nが大きいときでも、ド・モアブルの定理を使えば簡単にzⁿを計算することができます。

２．ド・モアブルの定理の利用例

具体例、(√3+i)³を計算してみます。

\begin{align} (\sqrt{3}+i)^3=\{2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)\}^3\\ =\{2(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})\}^3\\ =2^3(\cos 3 \cdot \frac{\pi}{6}+i\sin 3\cdot \frac{\pi}{6})\\ =2^3(\cos \frac{\pi}{2} +i\sin \frac{\pi}{2})=8(0+i)=8i\\ \end{align}

ド・モアブルの定理を使って高次方程式をとくこともできます。z³=1を満たす複素数zは3つあります。これらをド・モアブルの定理を使って見つけてみましょう。

\begin{align} z=r(\cos \theta + i\sin \theta)とおく\\ z^3=1より\\ r^3(\cos \theta +i\sin \theta)^3=1\\ r^3(\cos 3\theta +i\sin 3\theta)=1^3(\cos 0 + i\sin 0)\\ 両辺を比較して、r=1（r>0より）、3\theta = 0 + 2k\pi（kは整数）\\ \theta = \frac{2k\pi}{3}となり、0\leqq \theta < 2\piだから\theta = 0(k=0)、\frac{2\pi}{3}(k=1)、\frac{4\pi}{3}(k=2)\\ したがってz_1=(\cos 0 +i \sin 0) = 1\\ z_2=(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\\ z_3=(\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i\\ \end{align}

途中、3θ=0+2kπの形にしているところが一番の注意点でしょうか。通常0≦θ＜2πの範囲で考えますが3θの値なので2πを超える値も含まれています。なのでいったん+2kπをして一般角まで広げておいてから、θ=2kπ/3のうち0≦θ＜2πの範囲に収まるkの値を探す、というふうに求めるのが一般的です。ちなみにx³=1を(x-1)(x²+x+1)=0と因数分解して解を求めてもよいです。しかし高次になるほど因数分解が難しくなるので、その場合はド・モアブルの定理が威力を発揮することになります。

<< 複素数の掛け算と割り算