極限

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目次

• １．極限概念の導入
• ２．収束と発散
• ３．よく使用される極限の規則

１．極限概念の導入

「極限」の言葉なしに、すでに微分で極限の概念が紹介されています。

\begin{align} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align}

上の導関数の式では、$lim_{h \to 0}$のところが「hを限りなく0に近づける」ということを意味していました。数Ⅲでは、この「限りなく近づける」という操作に対し、「極限」や「極限を取る」という表現を用います。このページではまず、新たに導入される言葉や極限に関する基本の計算規則をまとめておきます。

２．収束と発散

ある関数や数列において極限を取ったときに、特定の値に決まることもあればそうでないこともあります。特定の値に決まるときは「収束」の言葉を用います。また無限に大きな値を取るときは「∞」の記号を用いて表現します（読み方は無限大）。無限に小さな値は「-∞」です。極限の値がこれら∞や-∞になるとき、「発散」すると表現します。収束でも発散でもなく、例えば「-1, 1, -1, 1,…」の数列では、値が一つの値に定まることがないので「極限値なし」ということになります。記号を使うと下のようになります。

\begin{equation} 収束:\lim_{x \to \alpha}f(x) = \beta\\ 発散: \left\{ \, \begin{aligned} & \lim_{x \to \alpha}f(x) = \infty\\ & \lim_{x \to \alpha}f(x) = -\infty \end{aligned} \right. \\ 極限値なし:「-1, 1, -1, 1,…」など \end{equation}

収束の式を例にとると、「関数f(x)においてx→αで極限をとれば、関数f(x)はある値βに収束する」ということを意味しています。

３．極限に関する規則

公式というわけではないですが、極限においてよく使う規則があるので下にまとめておきます。

\begin{align} \lim_{x \to 0}\frac{a}{x}=\infty（aは定数）\cdots ① \\ \lim_{x \to \infty}\frac{a}{x}=0（aは定数）\cdots ② \end{align}

①において、割り算は分母と分子の比率を表すので、割る数の方が無限に小さければ割られる数の比率は無限に大きくなります。実際にf(x)=1/xで、x=0.1ならf(x)=10、x=0.001ならf(x)=1000というふうに、分母が小さくなるごとにf(x)の値が大きくなって、xが極端に小さな数ならf(x)が極度に大きくなるのがわかります。②も同じで、無限に大きな数で割ったら限りなく小さくなるということで、こちらの方がわかりやすいと思います。

基本的な極限の計算 >>