基本的な極限の計算

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目次

• １．極限計算で式変形が必要な場合
• ２．極限計算の具体例
• ２．１　∞-∞の場合
• ２．２　∞/∞の場合
• ２．３　0/0の場合

１．極限計算で式変形が必要な場合

極限の計算をするための注意事項があります。大きく分けて、極限を取ったときに次の状態になる場合は、先に式変形をしてから極限を求める必要があります。

\begin{align} \infty-\infty\cdots①\\ \frac{\infty}{\infty} \cdots②\\ \frac{0}{0} \cdots③\\ \end{align}

極限計算には前ページで示した極限の性質を利用するので、もう一度必要な部分だけ示しておきます。なお数列の極限と関数の極限の二通りの場合があります。数列の極限は∞でとるので、こちらの場合の変数をn、関数では∞でもa（定数）でもとるので、aで極限をとる場合の変数をxで区別しておきます。実際には、極限計算では両者の区別を特に意識しなくてかまいません。

\begin{align} 数列a_n、b_nにおいて\lim_{x \to \infty}a_n=\alpha、\lim_{x \to \infty}a_n=\betaのとき\\ 1. \lim_{x \to \infty}ka_n=k\alpha\\ 2. \lim_{x \to \infty}(a_n+b_n)=\alpha + \beta、\lim_{x \to \infty}(a_n-b_n)=\alpha – \beta\\ 3. \lim_{x \to \infty}a_n b_n=\alpha\beta\\ 4. \beta\ne0のとき\lim_{x \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\\ \\ \lim_{x \to a}f(x)=\alpha、\lim_{x \to a}g(x)=\betaのとき\\ 1. \lim_{x \to a}kf(x)=k\alpha\\ 2. \lim_{x \to a}(f(x)+g(x))=\alpha + \beta、\lim_{x \to a}(f(x)-g(x))=\alpha – \beta\\ 3. \lim_{x \to a}f(x)g(x)=\alpha\beta\\ 4. \beta\ne0のとき\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}\\ \end{align}

２．極限計算の具体例

「こういう形のときはこういう式変形をすればよい」というのがだいたい決まっていて、練習して式変形の仕方を覚える必要があります。いろいろなパターンがあるので、ここではごく基本的なものだけやり方を紹介したいと思います。けっこうな数の練習問題を解かないと解法が身につかないので、必要な人は問題集やネットの問題をやってみてください。

２．１　∞-∞の場合

計算例を一題示します。

\begin{align} \lim_{n \to \infty} (n^2-n) = \lim_{n \to \infty} n^2(1-\frac{1}{n})\\ =\infty \end{align}

最初の式において∞で極限をとってしまうと、∞-∞になってしまって結局どうなるのかよくわかりません。直感的に2乗の方がより大きな∞になって、全体で∞になりそうに思えます。実際にそうなのですが、それを計算で示す必要があります。上の例では、次数の大きな方のn²を括りだしてやると、(1-1/n)の形を引っ張り出せます。n→∞のとき1/nは1/∞となり、これは0に収束します。したがって1-1/nは1に収束するので、全体としては∞×1で∞に発散することが示せます。

２．２　∞/∞の場合

計算例を一題示します。

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}}\\ =\frac{1}{1}=1\\ \end{align}

直感的に1になりそうですが直接代入すると∞/∞になってはっきりしません。分母の「+1」がなければ約分して1なので、この+1をどうにかしたいです。この場合は分母分子をnで割れば、分母の+1を+1/nにして、極限をとったときに0にもっていけます。したがって全体では1/1で1に収束します。

２．３　0/0の場合

計算例を一題示します。

\begin{align} \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}= \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\\ =\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}^2-2^2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\\ =\lim_{x \to 2} \frac{x+2-4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\\ =\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\\ =\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}\\ =\frac{1}{4} \end{align}

直接xに2を入れると0/0となってしまいます。こういう形のときは有理化のときに行うのと同じ操作を試してみてください。2乗-2乗の形を作って元の√を消すとたいてい上手くいきます。今度は分母に√が出てきてしまうんですが、別に有理化が目的ではないので問題ありません。0/0の原因になっていた部分を約分等で消せるので、極限が計算できるようになります。

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