極限

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目次

• １．極限概念の導入
• ２．収束と発散
• ３．よく使用される極限の規則
• ４．数列の極限値の性質と関数の極限値の性質
• ５．参照文献

１．極限概念の導入

「極限」の言葉なしに、すでに微分で極限の概念が紹介されています。

\begin{align} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align}

上の導関数の式では、$lim_{h \to 0}$のところが「hを限りなく0に近づける」ということを意味していました。数Ⅲでは、この「限りなく近づける」という操作に対し、「極限」や「極限を取る」という表現を用います。このページではまず、新たに導入される言葉や極限に関する基本の計算規則をまとめておきます。

２．収束と発散

ある関数や数列において極限を取ったときに、特定の値に決まることもあればそうでないこともあります。特定の値に決まるときは「収束」の言葉を用います。また無限に大きな値を取るときは「∞」の記号を用いて表現します（読み方は無限大）。無限に小さな値は「-∞」です。極限の値がこれら∞や-∞になるとき、「発散」すると表現します。収束でも発散でもなく、例えば「-1, 1, -1, 1,…」の数列では、値が一つの値に定まることがないので「極限値なし」ということになります。記号を使うと下のようになります。

\begin{equation} 収束:\lim_{x \to \alpha}f(x) = \beta\\ 発散: \left\{ \, \begin{aligned} & \lim_{x \to \alpha}f(x) = \infty\\ & \lim_{x \to \alpha}f(x) = -\infty \end{aligned} \right. \\ 極限値なし:「-1, 1, -1, 1,…」など \end{equation}

収束の式を例にとると、「関数f(x)においてx→αで極限をとれば、関数f(x)はある値βに収束する」ということを意味しています。

３．極限に関する規則

公式というわけではないですが、極限においてよく使う規則があるので下にまとめておきます。

\begin{align} \lim_{x \to 0}\frac{a}{x}=\infty（aは定数）\cdots ① \\ \lim_{x \to \infty}\frac{a}{x}=0（aは定数）\cdots ② \end{align}

①において、割り算は分母と分子の比率を表すので、割る数の方が無限に小さければ割られる数の比率は無限に大きくなります。実際にf(x)=1/xで、x=0.1ならf(x)=10、x=0.001ならf(x)=1000というふうに、分母が小さくなるごとにf(x)の値が大きくなって、xが極端に小さな数ならf(x)が極度に大きくなるのがわかります。②も同じで、無限に大きな数で割ったら限りなく小さくなるということで、こちらの方がわかりやすいと思います。

４．数列の極限値の性質と関数の極限値の性質

極限を考えるのは数列の場合と関数の場合と二通りあります。極限値の求め方はこの両者でほとんど変わりありません。数列の場合は変数n、数列a_n、関数の場合は変数x、関数f(x)の記述の仕方が多く、記号の違いはあっても計算の仕方は一緒です。また極限値の性質がいくつかわかっていて、数列と関数でほぼ同じです。ただ数列が飛び飛びの値を取るのに対し、関数は連続の値をもつことが一般的なことから、それに関する規則が関数の場合で加わります。

まず数列の極限値の性質を示します。

\begin{align} 数列a_n、b_nにおいて\lim_{x \to \infty}a_n=\alpha、\lim_{x \to \infty}a_n=\betaのとき\\ 1. \lim_{x \to \infty}ka_n=k\alpha\\ 2. \lim_{x \to \infty}(a_n+b_n)=\alpha + \beta、\lim_{x \to \infty}(a_n-b_n)=\alpha – \beta\\ 3. \lim_{x \to \infty}a_n b_n=\alpha\beta\\ 4. \beta\ne0のとき\lim_{x \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\\ \end{align}

直観的に覚えやすい性質であり、高校数学では覚えて使えることができれば問題ありません。

次に関数の極限値の性質を示します。

\begin{align} \lim_{x \to a}f(x)=\alpha、\lim_{x \to a}g(x)=\betaのとき\\ 1. \lim_{x \to a}kf(x)=k\alpha\\ 2. \lim_{x \to a}(f(x)+g(x))=\alpha + \beta、\lim_{x \to a}(f(x)-g(x))=\alpha – \beta\\ 3. \lim_{x \to a}f(x)g(x)=\alpha\beta\\ 4. \beta\ne0のとき\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}\\ 5. ~aの近くで、f(x)\leqq g(x)ならば、\lim_{x \to a}f(x)\leqq\lim_{x \to a}g(x)すなわち\alpha\leqq\beta\\ 6. ~aの近くでf(x)\leqq h(x)\leqq g(x)かつ\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=\alphaならば\\ \lim_{x \to a}h(x)=\alpha\\ \end{align}

上の四つは数列のときとほぼ同じですが、極限に近づけるのはある実数値aです。数列ではn→∞のときしか極限をとる意味がなかったのですが、連続関数は変数の値が連続しているため、ある値に限りなく近づけるという操作が生じるのでx→aになってます。

さらに下の二つの性質が加わります。こちらも関数が連続であることからきている性質で、一番下のものは微積で重要となる「はさみうちの定理」で利用します。こちらも覚えて使えれば問題ありません。

５．参照文献

• 参照文献：文栄堂編集部編『これでわかる数学Ⅲ』（文栄堂）

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