複素数の極形式

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目次

• １．複素数の極形式
• ２．極形式と平面形式の間の変換

１．複素数の極形式

複素数の掛け算、割り算の前に、複素数の極形式を導入しておきます。複素数は実軸と虚軸に分けて、平面上の点として考えることができるのでした。実軸上の原点からの大きさと虚軸上の原点からの大きさの組で表現しているのですが、この二つの値の代わりに複素数の絶対値（大きさ：原点とその複素数の点を結んだ距離）と、実軸との角度で表現するのが、複素数の極形式です。図の方がわかりやすいので、図1で説明します。

図１(a)のように複素数A=1+iのとき、Aの絶対値は√2で、実軸と線分OAとの角度θはπ/4です。このとき半径r=√2の円を描くときの角度θがπ/4と考えます。この二つの値の組が決まると、この組を表現する複素数平面上の1点が決まります。(x, y)の組と(r, θ)の組、どちらも同じ一つの複素数を表現しています。

極形式の場合の複素数の一般的記述は、B=r(cosθ+isinθ)として書きます。図1(b)において、三角比の知識を使えば、x座標はrcosθ、y座標はrsinθであることがわかります。このxとyの値をB=x+yiに代入して整理すると、B=rcosθ+(rsinθ)i=r(cosθ+isinθ)となります。sinθiだとsinの角度がθiということになってしまうので、sinθ×iはisinθと書く決まりになっています。A=1+iを極形式で書くと、A=√2(cos(π/4)+isin(π/4))となります。

２．極形式と平面形式の間の変換

一つの複素数が両方の表現を持つので、両者の表現の間を自由に行き来できるようにしておく必要があります。極形式を平面形式に直す場合は、図1(b)のときのように、三角関数の知識を使って図形的に考えると楽です。具体例C=2(cos(π/3)+isin(π/3))を変換してみます。複素数Cは図2(a)のようになるので下のように変形できます。

\begin{align} C=2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})=2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\\ =1+\sqrt{3}i\\ \end{align}

極形式に直すときは少しだけ面倒で、まず複素数の絶対値を求め、絶対値で括り出した後、cosとsinに変換します。複素数C=1+√3iをさっきとは逆に、極形式に直してみましょう（図2(b)）。

\begin{align} C=1+\sqrt{3}iより\\ r=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{4}=2\\ よってC=2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\\ =2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}) \end{align}

最後のcosとsinに変換するところが少し難しいですが、θが同じ値になることから見つけられます。cosθ=1/2となるθはπ/3か5π/3で、sinθ=√3/2となるθはπ/3か2π/3です。両方に共通するのはπ/3より、極形式の角度θ=π/3となります。図2(b)のように1:2:√3のよく知る直角三角形の形になっているので、図形的に見つけてもよいです。それから、本当は何回転もできるのでθ=π/3+2nπとなるのですが、一般にθは0≦θ<2πで考えるので、θ=π/3だけでよいです。

角度θがよく知られた値でないとき、たとえばD=3+4iの極形式は、θの値を明示できないので、E=5(cosα+isinα）（ただしαはtanα=4/3を満たす）のように書きます。

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