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「趣味で学問」サイトへようこそ。21年5月17日にこのサイトを立ち上げました。 いままで勉強してき...

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基本的な極限の計算

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目次

１．極限計算で式変形が必要な場合

極限の計算をするための注意事項があります。大きく分けて、極限を取ったときに次の状態になる場合は、先に式変形をしてから極限を求める必要があります。

\begin{align} \infty-\infty\cdots①\\ \frac{\infty}{\infty} \cdots②\\ \frac{0}{0} \cdots③\\ \end{align}

２．極限計算の具体例

「こういう形のときはこういう式変形をすればよい」というのがだいたい決まっているので、練習して式変形の仕方を覚える必要があります。いろいろなパターンがあるので、ここではごく基本的なものだけやり方を紹介したいと思います。けっこうな数の練習問題を解かないと解法が身につかないので、必要な人は問題集やネットの問題をやってみてください。

２．１　∞-∞の場合

計算例を一題示します。

\begin{align} \lim_{n \to \infty} (n^2-n) = \lim_{n \to \infty} n^2(1-\frac{1}{n})\\ =\infty \end{align}

最初の式において∞で極限をとってしまうと、∞-∞になってしまって結局どうなるのかよくわかりません。直感的に2乗の方がより大きな∞になって、全体で∞になりそうに思えます。実際にそうなのですが、それを計算で示す必要があります。上の例では、次数の大きな方のn2を括りだしてやると、(1-1/n)の形を引っ張り出せます。n→∞のとき1/nは1/∞となり、これは0に収束します。したがって1-1/nは1に収束するので、全体としては∞×1で∞に発散することが示せます。

２．２　∞/∞の場合

計算例を一題示します。

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}}\\ =\frac{1}{1}=1\\ \end{align}

直感的に1になりそうですが直接代入すると∞/∞になってはっきりしません。分母の「+1」がなければ約分して1なので、この+1をどうにかしたいです。この場合は分母分子をnで割れば、分母の+1を+1/nにして、極限をとったときに0にもっていけます。したがって全体では1/1で1に収束します。

２．３　0/0の場合

計算例を一題示します。

\begin{align} \lim_{n \to 2} \frac{\sqrt{n+2}-2}{n-2}= \lim_{n \to 2} \frac{(\sqrt{n+2}-2)(\sqrt{n+2}+2)}{(n-2)(\sqrt{n+2}+2)}\\ =\lim_{n \to 2} \frac{\sqrt{n+2}^2-2^2}{(n-2)(\sqrt{n+2}+2)}\\ =\lim_{n \to 2} \frac{n+2-4}{(n-2)(\sqrt{n+2}+2)}\\ =\lim_{n \to 2} \frac{n-2}{(n-2)(\sqrt{n+2}+2)}\\ =\lim_{n \to 2} \frac{1}{\sqrt{n+2}+2}\\ =\frac{1}{4} \end{align}

直接nに2を入れると0/0となってしまいます。こういう形のときは有理化のときに行うのと同じ操作を試してみてください。2乗-2乗の形を作って元の√を消すとたいてい上手くいきます。今度は分母に√が出てきてしまうんですが、別に有理化が目的ではないので問題ありません。0/0の原因になっていた部分を約分等で消せるので、極限が計算できるようになります。

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極限

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１．極限概念の導入

「極限」の言葉なしに、すでに微分で極限の概念が紹介されています。

\begin{align} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align}

上の導関数の式では、$lim_{h \to 0}$のところが「hを限りなく0に近づける」ということを意味していました。数Ⅲでは、この「限りなく近づける」という操作に対し、「極限」や「極限を取る」という表現を用います。このページではまず、新たに導入される言葉や極限に関する基本の計算規則をまとめておきます。

２．収束と発散

ある関数や数列において極限を取ったときに、特定の値に決まることもあればそうでないこともあります。特定の値に決まるときは「収束」の言葉を用います。また無限に大きな値を取るときは「∞」の記号を用いて表現します（読み方は無限大）。無限に小さな値は「-∞」です。極限の値がこれら∞や-∞になるとき、「発散」すると表現します。収束でも発散でもなく、例えば「-1, 1, -1, 1,…」の数列では、値が一つの値に定まることがないので「極限値なし」ということになります。記号を使うと下のようになります。

\begin{equation} 収束:\lim_{x \to \alpha}f(x) = \beta\\ 発散: \left\{ \, \begin{aligned} & \lim_{x \to \alpha}f(x) = \infty\\ & \lim_{x \to \alpha}f(x) = -\infty \end{aligned} \right. \\ 極限値なし:「-1, 1, -1, 1,…」など \end{equation}

収束の式を例にとると、「関数f(x)においてx→αで極限をとれば、関数f(x)はある値βに収束する」ということを意味しています。

３．極限に関する規則

公式というわけではないですが、極限においてよく使う規則があるので下にまとめておきます。

\begin{align} \lim_{x \to 0}\frac{a}{x}=\infty（aは定数）\cdots ① \\ \lim_{x \to \infty}\frac{a}{x}=0（aは定数）\cdots ② \end{align}

①において、割り算は分母と分子の比率を表すので、割る数の方が無限に小さければ割られる数の比率は無限に大きくなります。実際にf(x)=1/xで、x=0.1ならf(x)=10、x=0.001ならf(x)=1000というふうに、分母が小さくなるごとにf(x)の値が大きくなって、xが極端に小さな数ならf(x)が極度に大きくなるのがわかります。②も同じで、無限に大きな数で割ったら限りなく小さくなるということで、こちらの方がわかりやすいと思います。

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音声獲得に関連する実験の例

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１．心理学、動物行動学で共有される考え方

言語獲得に関する心理学実験を一例紹介したいと思います。紹介する実験はその根底の考え方が、心理学だけではなく、最近の動物行動学の実験においても共有されています。その前提とは、馴れていないものには素早く、または長く反応する、というものです。

２．実験の仮説

実験はたいてい、先に考えた仮説があって、その実証のために行うものです。この実験の前に立てられた仮説は次のようなものです。

仮説１/r/と/d/は調音点が近く言い誤りが多いことから聞きわけが難しい。それに比べ/r/と/h/は調音点の違いが大きく聞きわけが容易である。
仮説２母語の母音を獲得する直前の生後5カ月、理解できる単語が少しずつ現れ始める9カ月、ある程度の発話が可能になる15カ月では、弁別能力に違いがある。

３．実験

３．１　実験方法

このページで紹介する実験は「馴化スイッチ法」と呼ばれているそうです。ざっと実験をまとめると、次の通りです。

  • 格子縞模様を写すディスプレイの後ろのスピーカーから「ラマク、ラマク、ラマク…」と流すと、子どもはそのディスプレイをじっと見つめる。試行を何度も繰り返すうちに子どもは馴れてきて画面を見る時間が減るので、今度は違う音の「ダマク」「ハマク」等の音声を聞かせると、音の弁別ができているならば、驚いてディスプレイを注視する時間が回復する。よって有意に注視時間が長くなった音声は、「ラマク」と弁別がついている。

もうちょっと詳しく説明すると下の手順となります。

  1. 実験の状況：ディスプレイの前で、子どもは母親の膝に座ってディスプレイの正面にいる。ディスプレイの下にビデオカメラがあり、ディスプレイの後ろにスピーカーがある。
  2. 試行：「ラマク、ラマク、ラマク…」と１種類の音声が繰り返し呈示される。１試行は14秒間。
  3. ディスプレイの後ろから音声が聞こえるので、子どもはディスプレイを見る。子どもがディスプレイを見ている間は音声に注意を傾けていると解釈して、14秒間中の注視時間を記録する。
  4. ２の試行を何度も繰り返すと、音声に飽きてきて画面を見る時間が短くなっていく。その飽きる時点がきたところで準備を終了し、最後3試行の平均をベースラインとする。
  5. その後、基準語に使った「ラマク」、１音のみ異なるテスト語の「ダマク」、「ハマク」、全ての子音が異なる統制語の「ワサズ」で上記と同様の試行を行い、ディスプレイを注視する時間を比較する。

３．２　期待する結果

2節の仮説1を実証してくれる実験結果は図１(a)のような形で、もし図１(b)のようになってしまうと、仮説1は不適当だったと判断せざるをえません。

仮説通りになって欲しいというバイアスにより観察結果が歪められてしまうという事態が起こりかねなくて、その危険性を排除するために、機械的に注視時間を記録しておくという方法が取り入れられていたりします。一見遠回りに見える方法、もっと詳細に直接観察すればよいのに、と思える方法が取られているわけで、その理由がここにあります。バイアスにより歪められてしまうというのは本当によくあることで、どの分野の実験でもバイアスを取り除くための工夫がされているはずです（自分が所属した情報処理分野でも行われていました）。それともう一つ、できるだけ自然科学的手法を導入したい、つまり数量化して示したいという理由もあります。

３．３　実験結果

著書に載っている実験結果は図２となります。

図２の結果の著者による解釈は次のようなものです。

  • １．「ワサズ」と「ハマク」についてはすべての月齢群で注意が復活した。
  • ２．月齢間に差が見られたのは、「ダマク」であった。
  • ３．5カ月群においては、注意が復活した子どもの割合は「ハマク」で約70%、「ダマク」で約60%であった。
  • ４．以上より、発音上の区別が難しい/r/と/d/のミニマルペアの方が、区別のやさしい/r/と/h/のペアよりも、単語内での知覚はやや遅いと考えられる。また9カ月、15カ月になれば区別の難しい「ラマク」と「ダマク」の聞きわけも可能と考えられる。

正直、著者による解釈に問題があるように思えます。一見、図２からは「ハマク」も「ダマク」も弁別がついているように見えますが、上のように解釈されているのは、おそらく統計検定の結果、優位水準5%で帰無仮説を棄却できなかったためでしょう。5%という値に特別の意味があるわけではないので、統計検定ではそのあたりの考慮も必要だったりするのですが、いったんここでは置いておきます。

参照ページ：統計的仮説検定

問題は３の注意が復活した子どもの割合が突然入って来てることで、本来は実験設定の段階で図２と統合的に判断する旨を記述しておいて考察しないといけません。それと２について、図２を見る限りでは「ダマク」と「ハマク」の差がちょっとしか見えないので、そんな判断をしてよいのかわからないし、統計的に言えるというなら、その数値を示す必要があります。そしてこれらの問題含みの解釈をもとに、４の解釈をするのは無理があります。

３．４　実験結果を解釈しなおす

図２に対して、統計検定などは考慮せず、グラフの形状だけで判断してみます。

  1. ベースラインと統制語の「ワサズ」は月齢が増えるごとに減少しているので、この単純な試行そのものに飽きて反応が薄くなっていっている可能性が示唆されます。
  2. またベースラインの注視時間は月齢が増すと共に減少しているのに比べ、ベースラインに使用した「ラマク」をもう一度聞かせると注意がある程度復活するようです。各音声の弁別能を調べたいのであるから、各音声との比較はベースラインではなく「ラマク」と比較するのが妥当と思われます。
  3. 「ラマク」と比較して統制語の「ワサズ」が最も大きく注視が復活しているので、大きく異なる音声の方が注意が復活する、つまり弁別可能であると考えてよいでしょう。
  4. 「ラマク」に比べ「ダマク」と「ハマク」の双方ともどの月齢においても注視時間が大きいため、一音声のみ異なる「ラマク」と「ハマク」も弁別可能と考えられます。しかし「ダマク」と「ハマク」の差異はほとんど存在しないため、当初想定していた「/r/と/d/の弁別より/r/と/h/の弁別の方が容易だ」という仮説は支持できません。
  5. 月齢5ヵ月に対して9カ月と15カ月では、「ダマク」と「ハマク」共に若干ながら注視時間が大きいため、弁別能力は上昇している可能性が示唆されます。9カ月に比べ15カ月の方が注視時間が少なくなっている理由として、この単純な実験そのものに飽きるのが速くなっていることが影響した可能性があります。

個人的には、著者による解釈はバイアスに汚染されてしまっていると思います。こういうことが起こりうるので、著書を読む際には、実験結果に対して自分で解釈を行うことが必要です。

４．参照文献

  • 参照文献：小林晴美、佐々木正人編『新・子どもたちの言語獲得』第2章（大修館書店）　書評と要約
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高校生物の全体構成

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１．「高校生物」の全体構成

今、手元に数年前に購入した高校生物の参考書『理解しやすい生物』（文栄堂）があるので、まずはその目次を見てみましょう（注意点；いわゆる旧課程の本なので、新課程とはいくらかの違いがあります）。

  • 第１編　細胞と遺伝子（生物基礎）
  • 　１章　生物体をつくっている細胞
  • 　２章　遺伝子とそのはたらき
  • 第２編　環境と生物の反応（生物基礎）
  • 　１章　体液の恒常性
  • 　２章　内分泌系と自律神経系
  • 第３編　生物の多様性と生態系（生物基礎・生物）
  • 　１章　植物群集とその多様性
  • 　２章　生態系とそのはたらき
  • 　３章　個体群とその維持
  • 第４編　生命現象と物質（生物）
  • 　１章　細胞と分子
  • 　２章　異化と同化
  • 　３章　遺伝情報とその発現
  • 第５編　生殖と発生（生物）
  • 　１章　生物と減数分裂
  • 　２章　動物の生殖と発生
  • 　３章　遺伝
  • 　４章　植物の生殖と発生
  • 第６編　生物の環境応答（生物）
  • 　１章　刺激に対する動物の反応
  • 　２章　動物の行動
  • 　３章　植物の反応と調節
  • 第７編　生物の進化と分類（生物）
  • 　１章　生物の進化
  • 　２章　生物の分類

２．生物学の階層構造

生物学をこれから始める人には、全体構成とかさっぱりわからないと思います。まず各編の後ろの生物と生物基礎の区別からいきましょう。これは高校生が学習するための便宜的な区別で、基礎とその発展という区分ではないので注意です。「生物基礎」の方が応用なんでは？と思えることも多々あります。

それはおいといて、生物基礎にあたる第3編までのタイトルが、実は生物学の階層構造を割とよく表現してくれてます。第1編が「細胞と遺伝子」なので、細胞についてです。第2編は「環境と生物の反応」で、多細胞生物個体についてだと言ってよいでしょう。第3編は「生物の多様性と生態系」で、生物群集についてですね。このように基本単位である細胞、その統合体としての生物個体、さらに個体が集まった社会の順に、階層化された区分がここに認められます。細胞を基本単位として考える時点で歴史的経緯とは違いますし、この階層化は単純なピラミッド構造とも違います。本当は生命について考えたいけど生物からしか考えられない、そんなジレンマがこの階層区分に現れているような、そうでもないような。

それから残り第4編から第7編までもこの階層化が当てはまって、細胞から生物社会までグラデーションを成して記述されています。ひとまず上のような階層化がされてるんだなと思っておいてください。これだけで全体の見通しはよくなると思います。

３．参照文献

  • 参照文献：水野丈夫、浅島誠共編『理解しやすい生物』（文栄堂）
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高校生物ってどんな分野？

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１．「生物学」入門としての高校生物

高校生物をやったことのある人はそんなにはいないんじゃないかと思います。理系の人なら物理と化学の方を選ぶでしょうし、文系の人は「生物基礎」はやってたけどという人も多いでしょう。普通に字面を見て高校レベル「生物学」だと考えて、まあ間違ってないです。「生命」というよりは「生物」の学ですね。生物に興味のある人は同時に生命も興味があるでしょうけど、なかなか「生きているということ」には手が付けられないです。とはいえ「もの」としての生きものだけじゃなく、その「はたらき」もなんとか対象化しようと試みられてはいるので、「生命」の学問の入り口としては決して悪いものでもないです。

これから高校生物の入門ページを作っていくわけですが、さすがに大学受験のための人がここを訪れるとは思えないので、生物学に興味のある人とか必要になってしまった人が独学できるようなページにしたいところです。最初に言ってしまうと覚えることが山盛りです。でもやっぱり覚えるべきことではあって、まずはこれだけは覚えておいた方がよい、もしくは理解しておいた方がよいことについてのページを作っていこうと思います。その後でちょっとずつ、より詳しく解説したページを加えていく予定です。

２．「生命」の学としての「生物学」

さきほど覚えるべきことが山盛りと書きました。大学受験をするわけでもないのに覚えないといけないことがたくさんあるというのは、納得がいかないかもしれません。本当はただ覚えるのではなく、生命現象をどのように対象化して考えればよいのか、生物学における考え方を見つける必要があります。でもそんなことがいきなりできるのは、ごく一部の秀才だけでしょう。まずは生物学の視点ですでに区切られ名称がつけられている事項から覚えていくのが、遠回りに見える早道のはずです。生物学でつけられている名称は意味もなくつけられたものではなく、多様な生命現象に区切りを入れて、一般の人でも考えることができるように工夫されたものです。ですからまずは生物学用語を覚えてみて、そしてその用語の後ろに潜在している、「生物学」という学問の特質を探し出してみてください。

別に生物学で言われていることが完全に正しいというわけではありません。西洋を起源とする生物学では、その性質により可視化することができたことと、逆にそのために記述できなくなってしまったことがあるでしょう。生命について考えるための一つの入り口として生物学を活用していただけたらと思います。

３．新課程、旧課程について

最後に注意点として、ここのページは2025年における新課程といわれるバージョンではなく、2022年までの旧課程をもとにして作っていきます。新旧課程では章の構成が大きく変わっているところもあって、今のところ自分にとってどちらの形式が適切かよくわかりません。ひとまずページを作ってみて、何か考えがまとまったら、その都度ページを更新することにします。

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