１．等比数列の和
等差数列と同様、等比数列でも第n項までの和をnを用いて表現することができます。先に等比数列の和の公式を示しておきます。
\begin{align} S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\cdots①\\ =\frac{a(r^n-1)}{r-1}\cdots①’\\ \end{align}２．「等比数列の和」の公式の求め方
この公式の導入の仕方がけっこう重要なので、公式の求め方とセットで公式を覚えてみてください。
第n項までの和Snとそれに公比rをかけたrSnを上下に並べます（図1）。
このときにrSnの各項を一つずらして並べます。こうすることで上のSnから下のrSnを引くと、きれいに打ち消してS1のaとrSnのarnだけが残ります。左辺はSn-rSn=(1-r)Sn、右辺はa-arn=a(1-rn)になるので、(1-r)Sn=a(1-rn)の両辺を1-rで割ると①の公式が出てきます。この手順を知っていると①の方が覚えやすいですが、計算は①’の方が簡単なことが多いです。それほど違いはないのでどちらかを覚えておけば問題ありません。
３．計算例
初項3、公比-2の等比数列a_n=3,-6,12,-24…を例にとってS_nを計算してみます。第n項までの和は①の公式より下のように計算できます。
\begin{align} S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\\ =\frac{3\{1-(-2)^n\}}{1-(-2)}\\ =\frac{3\{1-(-2)^n\}}{3}\\ =\{1-(-2)^n\}\\ \end{align}第4項までの和S_4であればこの結果にn=4を代入して{1-(-2)4}=-15です。3+(-6)+12+(-24)=-15なので、確かに一致していることがわかります。
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