平方完成

二次関数y=ax²+bx+c…①の式をy=a(x+b’)²+c’…②の形に変形することを、平方完成と呼びます。この式変形により、二次関数のグラフの概形を描くことができるようになります。二次関数の性質として重要なのは、開き具合および凸の向き、軸、頂点の三つです。y=x²のグラフを基本として、②のaで上に凸か下に凸か、放物線が尖っているか開いているかが決まります。次にb’により軸がx=0（y=ax²のとき）に対しどれだけ移動するか、また頂点のx座標が決まります。そしてc’により頂点のy座標が決まります。
関連ページ：二次関数のグラフ

平方完成のやり方は公式として書かれていることも多いですが、公式を覚えなくても行うことができます。具体例で説明する方がわかりやすいと思うので、二例ほど示そうと思います。一例目はy=x²+4x+3です。

\begin{align} y=x^2+4x+3\\ =x^2+4x+4-4+3\\ =(x+2)^2-1\\ \end{align}

一行目から二行目まで何をやっているのか初めてだとよくわからないかもしれません。二行目で「+4-4」が突然現れてますが、4足して4引くので、何もしないのと同じでもちろん一行目と二行目は同じ式です。なんでこんなことをするかというと、+4をx²+4xに加えることで、x²+4x+4=(x+2)²を無理やり作りだすためです。(x+2)²の形を引っ張り出せばよいというのは、x²+4xの部分で決まります。展開したときにこの形になる場合を逆算すると、(x+2)²の形が出てきます。ここのところに関してはxの係数を2でわるとよい、と覚えておいてもよいと思います。二行目のx²+4x+4のところを因数分解して(x+2)²に変え、調整のために加えた-4ともともとあった+3を計算すると、三行目の平方完成した形になります。平方完成することで、軸がx=-2、頂点が(x,y)=(-2,-1)の放物線になるのがわかります（図1）。

次はちょっと面倒くさい形のy=1/3x²-x+1です。

\begin{align} y=\frac{1}{3}x^2-x+1\\ =\frac{1}{3}(x^2-3x)+1\\ =\frac{1}{3}\{(x-\frac{3}{2})^2-9/4\}+1\\ =\frac{1}{3}(x-\frac{3}{2})^2-\frac{3}{4}+1\\ =\frac{1}{3}(x-\frac{3}{2})^2+\frac{1}{4}\\ \end{align}

一行目から二行目では、1/3で括りだすときに-xが-3xなるところが見つけづらいですが、これはもう慣れです。三行目の-9/4は(x-3/2)²の-3/2を二乗すると9/4が出てくるので、それを打ち消すために-9/4しています。最終的に、下に凸でy=x²よりも少し開き気味の放物線で、軸がx=3/2、頂点の座標が(x,y)=(3/2,1/4)だとわかります。グラフは図2となります。