三角比の180°までの拡張

三角比は直角三角形の辺の比で定義されているので、このままでは0°より大きく90°より小さい角度しか表現できません。そこで半円上の点と半径をもとにして、0°以上180°以下まで表現できるように拡張されます。

図1において、半円上の点と原点を結び、x座標に向かって垂線を下ろします。こうすると直角三角形ができて斜辺が半径r、横の辺の長さがx座標、縦の辺の長さがy座標で表現できます。図1の場合の三角比の値は次のようになります。

\begin{align} \sin \theta =\frac{y}{r},\cos \theta = \frac{x}{r},\tan \theta = \frac{y}{x}\\ \end{align}

r、x、yで三角比を表現できれば角度θが0°のときも定義できますし、90°以上180°以下のときも定義できます。

図2でθ=0°のときはx=r、y=0となるので三角比の値は次の通りです。

\begin{align} \sin \theta =\frac{0}{r}=0\\ \cos \theta = \frac{r}{r}=1\\ \tan \theta = \frac{0}{r}=0\\ \end{align}

θ=90°のときはx=0、y=1となるので三角比の値は次の通りです。

\begin{align} \sin \theta =\frac{r}{r}=1\\ \cos \theta = \frac{0}{r}=1\\ \tan \theta :なし \end{align}

xが0であり、このときtanθ=y/xは「なし」と定義されています。

θ=180°のときはx=-1、y=0となるので三角比の値は次の通りです。

\begin{align} \sin \theta =\frac{0}{r}=1\\ \cos \theta = \frac{-r}{r}=-1\\ \tan \theta =\frac{0}{-r}=0\\ \end{align}

θが90°より大きいとき、x座標が負になるのでcosの値は負になっています。tanの値も90°<θ<180°のとき負になり、180°のときは0になります。

図3にθ=60°と120°の場合を示しています。三角比はあくまで比の値なので、半径rがどの大きさでも角度θが同じであれば三角比は同じ値です。θ=60°のときはよく知っている1、2、√3の比の形になっているのでsinθ=√3/2、cosθ=1/2、tanθ=√3です。θ=120°のときもθ=60°の直角三角形ができるのでこの比を使えばよいのですが、横の辺の長さはx座標であり-1です。実際の図形では長さは正なのですが、この場合は便宜上負の長さも定義している、くらいに考えておいてください。θ=120°の三角比の値は、sinθ=√3/2、cosθ=-1/2、tanθ=-√3になります。xの値が1から-1に変わっているので、cosとtanの値がθ=60°のときの値に-1をかけた値になっています。θ=135°、150°のときもそれぞれθ=45°、30°の直角三角形を、図3のように左右反転した直角三角形で考えてみてください。

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三角比と辺の長さ

三角比を使ってわかっていない辺の長さを簡単に求めることができたりします。測量とかいろいろに使われていて、高校の学習内容としては力学の力の分解とかで使うことになると思います。

図1の直角三角形で、斜辺と角度がわかっているので、縦の辺yと横の辺xの長さは下のように計算できます。

\begin{align} y=4 \cdot \sin 30° \\ = 4 \cdot \frac{1}{2} \\ =2\\ x=4 \cdot \cos 30°\\ =4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ =2\sqrt{3} \end{align}

sinの値は(縦の辺)/(斜辺)で求められていて、この値は斜辺を1としたときの縦の辺の長さ、または縦の辺は斜辺の何倍になっているかを表現しています。sin30°=1/2なので、このとき縦の辺は斜辺の1/2の長さです。斜辺の長さ4でその1/2が縦の辺の長さなのだから、4×(1/2)で縦の辺の長さがわかります。横の辺の長さもcosを用いて全く同様に求めることができます。三角比の表には0°から90°まで1°ずつsin、cos、tanの値がまとめてあるので、この表を使えば30°のような値がすでにわかっている場合以外でも、同様にして辺の長さを求めることができます。

図2の場合はちょっと求めづらくて、一度下のように三角比の定義から式を立てて、それを解いてみてください。

\begin{align} \frac{3}{x}=tan40°=0.8391(三角比の表より)\\ 3=0.8391x\\ x=\frac{3}{0.8391}\\ =3.6 \end{align}

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世界像(オートポイエーシス論)

1.世界像

類人猿ははじめての場面でも、洞察により台を使って手の届かないバナナを取ることができます。このとき類人猿において一瞬、現在知覚している表象から離れた想像的な表象、さらに現在から未来へと向かう時間の次元を含む表象が成立して、それが洞察による行動を可能にしたと考えられます。

関連ページ:知能行動(オートポイエーシス論)

しかし類人猿の道具使用にはさらなる条件があって、彼らが箱や棒を使って吊るされたバナナを取ることができるのは,餌と箱や棒が同じ視野に入るときに限られています。一度学習した個体であっても,箱や棒をどこか他の場所に探しに行って手にして戻ってからバナナを取ったりはできません。

人間がどこか他の場所にある台や棒を取ってきてバナナを取ることができるのは,今この瞬間に知覚できないけれども今知覚している周りの環境と連続して世界が広がっており,知覚の範囲外の世界の方には台や棒が存在していると確信しているからです。今この瞬間を超えてあり続ける「世界」を可能にしているのが「言葉」です。哲学者の木田元は、言葉を用いることで人間独自に現れる世界の見え方のことを、「世界像」と呼んでいます。このページでは「世界像」とそれによる人間独自の知能行動に対して、オートポイエーシス論による記述を試みてみることにします。
関連ページ:人間の道具使用(22/11/17時点で未作成)

2.未来像と世界像

2.1 未来像と神経系との関係

類人猿の道具使用において現れ出ているであろう統合された知覚像を、「未来像」と名付けました。この「未来像」とそれによる知能行動の成立を、意識・認識の自己言及として記述していますが、この考え方がどれくらい適切であるかはまだ判断できていません。もっと単純に説明できる可能性があって、ここでは他の考え方による説明を試みてみます。
関連ページ:知能行動(オートポイエーシス論)

哺乳類では神経系の構造がかなり類似しているにもかかわらず、行動のレベルでは大きな違いがみられます。一般的な高等哺乳類(イヌ科・ネコ科動物、サルなど)と類人猿、さらに人間の間の行動の違いを、ここでは大脳皮質の量的な差異がもたらしているとして話を続けます。そうすると大脳皮質の拡張によって類人猿の洞察的行動が可能となり、さらなる拡張によって人間の世界像による道具使用が可能になっているはずです。

以下、仮定になりますが、類人猿の道具使用を脳・神経生理学的な知見と少しだけ紐づけして説明してみます。類人猿では大脳皮質の増大により、現在の知覚の成立に対して関与の度合いの低い領野が生じています。この領野は他の領野との関係により、現在の知覚表象を統合しかつ攪乱する機能を持ちます。もともと知覚そのものが、認識としては、いくつもの種類の知覚(五感などの形式)の分離と癒合を繰り返す形で現れています。類人猿において拡張された領野が行うのは、この分離と癒合の度合いを拡張し、一瞬ではありますが新たな行動を惹起可能とすることです。この瞬間において、行動が拡張され快が生じているだけなのか、それだけではなく新たな統合された認識である未来像が生まれているのか、類人猿ではなく人間である我々には知る術がありません。しかし人間の認識の拡張度合いから考えて、未来像の生成が生じていると考えることにします。

以上を図1のように図示できます。


類人猿で拡張された脳領域において、身体と神経系の循環への関与の仕方やその度合いが変移することで、未来像がときには生じ、それによりときには新たな行動連環が生起します。図1は欲求行動の図と考え方は同様です(本能行動と欲求行動、図2)。

2.2 世界像への拡張

世界像、つまり言葉によって現れてくる人間にとっての世界も、上記未来像と同様の考え方で記述することができます。しかし我々人間の認識は、現在の知覚に限らず、それと重なるように過去や未来の像が浸潤してきます。そこで言語野の拡張により認識が分化して、それら全体の構造が世界像という認識形式として現れると仮定してみます。図2(a)が未来像と同様に考えたときの図式で、図2(b)が認識の分化による図式です。

図2(b)におけるそれぞれのシステム(円を描く矢印)はシステム分化により生じています。言語野という領域の拡張とそれに伴う世界像の成立により、現在成立している認識は、それぞれ個別の感覚へと分離し、かつその癒合として意識に現れます。全体の構造である世界像は言語野が機能しなくなると瓦解し、それに伴って個別に分化して現れていた認識も再統合されて、異なる分化状況を呈します。その際、統合の度合いも分化の度合いも減退することになります。
関連ページ:構造的カップリング

図2(b)の図式は、メルロ=ポンティによる階層的な身体の統合化の考え方をもとにしています。現時点ではこれ以上明確に関係性を引き出すことができませんが、「哲学入門」の「現象学」ページ作成後に、関連性を確かめる予定です。

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三角比とは

三角比は直角三角形の辺の比をもとにする値のことです。直角三角形は三平方の定理より二辺がわかれば三辺の長さがわかります。直交座標系では点の位置を直交する各軸の位置の組で表現するので、いたるところに直角三角形が現われ、三辺の比が重要な意味を持つことになります。

三角比がどのように利用されるかはひとまずおいておいて、三角比がどういうものか示すことにします。

図1(a)における、(縦の辺)/(斜辺)の値がsin(サイン)、(横の辺)/(斜辺)がcos(コサイン)、(縦の辺)/(横の辺)がtan(タンジェント)です。よく言われる覚え方は図1(b)のように筆記体のs、c、tを直角三角形の上に書いてみることです。斜辺と横の辺との間の角度によって三角比の値が決まり、角度をθとすると、角度θのときのサインの値がsinθ、コサインの値がcosθ、タンジェントの値がtanθです。図1(a)の直角三角形では次の値になります。

\begin{align} \sin \theta = \frac{4}{5}, \cos \theta = \frac{3}{5}, \tan \theta = \frac{4}{3}\\ \end{align}

直角三角形の三辺の長さの比に関する値なので、直角三角形の大きさが異なっていても形が同じであれば三角比は同じになります。気をつけないといけないのが角度をどこにとるかで三角比は変わるので、合同な三角形でも図2の(a)と(b)の三角比は異なる値になります。


図2(a)と(b)の三角比の値は次の値になります。

\begin{align} (a) \sin \theta = \frac{1}{2}, \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}\\ (b) \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \theta = \frac{1}{2}, \tan \theta = \sqrt{3}\\ \end{align}

これだけだとなにがうれしいのかわからないと思います。三角比はすぐに円周上の点と座標で定義し直され、円周上を周ることと関係づけられます。この円周上を周るということは波と関係付けることができるのですが、そのことは数Ⅱの三角関数で取り扱われることになります。

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動物行動の分類

1.動物行動とは

当たり前のように使われる「行動」という言葉ですが、実際には結構曖昧な使われ方をしています。とりあえず動物行動は「ある一定の法則性の当てはまる身体動作の連鎖」であるといえます。たとえば「捕食行動」なら、見つけた獲物の方向に体を小刻みに動かして口を向けて、一定の距離へにじり寄った後、直進とともに口を開けて獲物を吸い込んで、咀嚼しながら飲み込む、といったふうに細分可能かつ固定的な個別の身体動作の連鎖です。魚の捕食行動とかでも、身体動作として記述すると、上のようにかなり煩雑なものとなります。

一方で、熱いやかんを触ってしまって手を引っ込める、といった動作を行動と呼ぶべきか判断に困ります。こちらは「反射」とか「反応」の名で呼ばれていて、主に神経系があまり発達していない動物において動物行動として分類されています。

もう一つ重要な観点があって、その生体にとって何かしらの機能を持つ、というものです。進化の過程で今の姿としてあるので、環世界への応答において機能を有しない行動が発達したとは考えづらいです。とはいえ痕跡器官と同様の、すでに機能を有しなくなってしまった痕跡行動もあり得るのですが。

このサイトでは脊椎動物の行動を対象にしたいので、「反射」や「反応」は「行動」からは除いておくことにします。また特定の刺激に走行方向が規定される「走性」、身体の動きを伴わない「体色変化」なども対象から除かせてもらいます。そして動物行動の定義を上記二点より、下のように定義することにします。

  • 動物行動:ある一定の法則性を持ち、かつ生体の生存に何かしらの機能をもつ、身体動作の連鎖

2.動物行動の分類

「身体動作の連鎖」を動物行動とすると、個々の身体動作の連鎖の仕方でいくつかに分類できます。ローレンツの考え方に従って、「本能行動と欲求行動」、「シグナル行動とシンボル行動」の二つの対で分類してみます。

2.1 本能行動と欲求行動

本能行動と欲求行動の定義は次のものです。

  • 本能行動:経験による修正を蒙らない行動様式
  • 欲求行動:経験により修正を余儀なくされる行動様式

本能行動を生得的に種固定的な行動と言ってもよいのですが、より確実に定義すると上のような定義になります。本能行動は「捕食行動」、「逃避行動」、「求愛行動」など各種性に関わる行動などで、「刷り込み」などもここに含まれます。一見明確に定義できるように思える本能行動ですが、本能行動を形成する個々の行動成分に可変性があるなど単純ではありません。具体的な話は本能行動の説明のときにしようと思います。

欲求行動は本能行動に含まれない、「試行錯誤」、「条件付け学習」、「洞察的行動(知能行動)」などが含まれます。欲求行動は本能行動に比べて定義が難しく、ローレンツの定義には曖昧な部分も残っています。また経験的に可変といっても、個々の行動成分は固定的で、欲求行動は多くの場合、本能行動のつなぎ合わせの可変性で成立していると言えます。そのため単純に動物行動を二分できるというわけでもありません。こちらも具体的な話は欲求行動の説明の際に行うつもりです。

2.2 シグナル行動とシンボル行動

2.1節の「洞察的行動」には類人猿の道具使用などの高度な知能行動も含まれています。しかし一見人間と遜色ないように見える類人猿による知能行動も、人間の知性による行動とは大きな違いがあります。人間と他の動物の行動を大きく隔てる最大の要因は、「言語」であると考えられます。ローレンツは動物の意思伝達や行動を「シグナル行動」、人間においてのみ可能になった知能的行動を「シンボル行動」と定義しています。この「シグナル」と「シンボル」の言葉の違いの通り、動物では種に固定的な信号のやり取りが行われているのであり、人間では現実そのものからは抽象化された「象徴」により独自の知能行動が可能になっています。

類人猿の道具使用を例にとってみましょう。類人猿において,箱を積み重ねて台にしたり、棒を使って吊るしてあるバナナをとるといった複雑な道具使用が可能であることが報告されています。このことは類人猿において、一度学習された行動ならば、ある程度は学習された場所や状況と離れて遂行可能であることを示しています。しかし彼らの道具使用には、遂行のためのある条件が存在します。類人猿が箱や棒を使って吊るされたバナナを取ることができるのは、餌と箱や棒が同じ視野に入るときに限られており、箱や棒をどこか他の場所に探しに行って手にして戻ってからバナナを取ったりはできません。

ではなぜ人間は目の前に存在しないのに、別のところからとってきて使ったりできるのでしょうか。それを可能にしているのが「シンボル」である「言語」です。人間が「台」や「棒」として名指しているのは、目の前のその対象物そのものでなく、目の前の対象物を包含する範疇です。人間がある対象物を「台」として名指しているとき、「硬く上に乗ることで地面からの自らの高さを上げることのできる立体構造物」のうちの一つを指しておりこの役割を持つ対象物が同時にそして永続的に無数に存在していることを前提にしています。このように「言葉」が「シンボル」であることによって、人間は現在の知覚から比較的自由に行動を選択することができます。

3.動作機構が不明という問題点

本能行動と欲求行動にしろ、シグナル行動とシンボル行動にしろ、身体動作が連鎖していくその機構が不明という問題があります。たとえば「歩行」という行動は、前後左右の足を規則性を持って交互に上げて前に伸ばして下ろすという動作の連鎖で成り立っています。これらの行動成分はセントラルパターンジェネレータ(CPG)と呼ばれる脊髄の神経細胞の連絡で成立することが示唆されています。CPGは駆け足から走行への移行や維持にも関与することも示されています。しかし行動の基盤となる「歩行」でさえ、これ以上のことはわかっていません。これらの行動が複雑に組み合わさる動物行動では、なおさら機序の解明は困難になっています。このサイトでも神経生理学的知見のページを作成する予定ですが、動物行動を説明するに足る内容のものではないことを断っておきます。

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