近代の哲学まとめ3(自然科学と形而上学)

近代の哲学のまとめ最後です。近代形而上学は自然科学の基盤となっています。これは当時の勃興当初の自然科学だけでなく、現在の自然科学でも同様です。とはいえ単純にその時代の形而上学が同時代の自然科学に基盤を与えたわけではありません。最も自然科学に影響を与えたであろうデカルトから、自然科学と形而上学の関係を見てみようと思います。

1.自然科学

まずは自然科学とは何かを考えてみましょう。普段何気に使っている言葉の方が定義が難しくて、「自然科学」もそんな言葉の一つです。

自然科学および関連分野で一般に考えられている定義は、量的な関係式で事態を表現可能なことでしょうか。他には反証可能性(自らが間違っていることも論証可能なこと)が哲学分野ではよく挙げられます。これは自らを否定しながら真理に近づいていくという考え方につながるので、広義の「近代」の中に含まれるでしょう。

自然科学を代表するのは物理学であることに疑いはありません。特に近代らしい時代ともいえる19世紀中葉は、まさに多様な物理学分野が花開き、物理学を超えてその数学的手法が導入されていった時代です。やはりまずは量的な自然科学の視点で近代形而上学との関係を見てみるべきでしょう。

2.デカルト

物質的自然観、もしくは機械論的自然観は自然をもっぱら物質的に、そして物質をもっぱら量的関係に即してみる立場です。しかし自然現象と数学的諸観念を結びつけられることは自明なことではなくて、いわゆる自然科学の「存在論的基礎づけ」を行ったのがデカルトです。あらゆる対象の特殊な質料にしばられずに、その形式、つまり順序と量的関係だけにかかわる学問を考えることができると彼は考えました。

デカルトの自然界の量的諸性質を数学的諸概念で記述しようとする試みは、精神と物質とを区別する、彼の形而上学がもとづけになっています。近代哲学はその後、「超越論的主観」の方向と、「客観的世界のもつ合理的構造をどこまでも明らかにしてゆこうとする方向」に別れ、後者はニュートンを代表とする近代の数学的自然科学が引き受けます。

3.イギリス経験論からカントまで

ロックの発想の一つに、デカルトの考えを引き継ぐ「第一性質」と「第二性質」の区別があります。ロックは延長に属するとみなせるような性質が実在に対応する性質だと考え、それを第一性質と呼んでいます。第一性質と第二性質の区別のように、延長に属する性質が実在に対応する性質だとすることが数量的自然科学には必要に思えます。ニュートンの友人でその裏付けとなる理論の構築といった意図もロックにはあったようなので、ロックの一連の考え方が数量的自然科学と整合性が大きいのは当然かもしれません。ニュートンの微分も時間や空間のような抽象観念が抽出されてはじめて可能になるものであるでしょう。

そうすると微分を同時期に考えたライプニッツも、イギリス経験論と基盤を共有しているのでしょうか。モナドロジーに見られるように境界の思考を含むライプニッツの思想は、デカルトやイギリス経験論を踏まえながらも異なる性質を持つように思えます。微分はモナドにおける世界の表出と関係がありそうなこと、絶対時間と絶対空間を否定したことなど、数量的自然科学と数学の関係についてライプニッツを除くことはできないように思えますが、これは私には負えないテーマなのでここまでとします。

次にカントですが、カントは数学的合理性の基付けを行おうとしているので、数量的自然科学との直接的な関係は薄いようです。

4.生命論的思想

カントの後継者であるカント観念論と呼ばれる哲学者たちのうち、ヘーゲルの同一性と差異の思考は生成や運動の側面を含むもので、むしろ生命論との対応の方が強いかもしれません。シェリング、マルクス、ニーチェに至るまで、生成運動する自然を取り戻そうという視点があり、数量的自然科学とは別の方向と考えた方がよさそうです。19世紀中ごろが一番西洋形而上学が科学技術と結びついて猛威を奮った時代のはずですが、時代の最先端をいった彼らの思想は、自然科学の基盤となったわけではないようです。自然科学や心理学(当時その名称があったのかわからないですが)などの分野が、それまでの形而上学やそれと深く結びついた自然科学的手法を取り入れた、というのが実情みたいです。

5.イデア論としての自然科学

一応は自然科学系の学部を出た身として、実は自然科学もイデア論なのでは?と思うことがあります。たとえば「エネルギー」は自然科学だけでなく、一般にこの概念なしに現代のあらゆる問題を考えることができないものです。しかし運動エネルギーがmv2/2として質量と速度で表現されているように、エネルギーそのものを計測できるわけではありません。よく言われる「エントロピーそのものは測ることができない」のと同様です。そうだとするとあらゆる現象の間で相互に変換されることで、体系として織りなされる自然を理解可能とする、超越論的原理としてのエネルギーを措定していると言えないでしょうか。それはまさに「イデア」、「純粋形相」そのものです。自然科学は基盤として形而上学を必要としたというよりも、むしろ形而上学の正統継承者なのかもしれません。

  • 参照文献1:木田元『反哲学史』(講談社学術文庫)
  • 参照文献2:熊野純彦『西洋哲学史 近代から現代へ』(岩波書店)

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三角形の面積とsin

sinの値を使って三角形の面積を求めることができる場合があります。簡単でわかりやすい式なので紹介しようと思います。それから三角形の内接円の半径を用いて三角形の面積を表現できます。これらを用いて三角形の内接円の半径を求めることができるので、最後に一題やってみることにします。

二つの辺の長さとその間のsinの値がわかると、下の式で三角形の面積を計算できます。

\begin{align} S=\frac{1}{2}bc \sin A…① \end{align}

図1においてb・sinAは高さhにあたるので、式①は底辺(c)×高さ(b・sin A)×1/2の三角形の面積の公式そのものです。このことを一度理解しておけば覚えなくても①の式をその場で作ることもできます。

次に図2に示すように、三角形の三辺と内接円の半径rがわかっている場合に、三角形の面積は下の式で表現できます。

\begin{align} S=\frac{r(a+b+c)}{2}…② \end{align}

円の中心から円と接線の交点に線を引くと直角に交わる、という性質を使うことで簡単に②の式を作ることができます。h1(半径r)とaは垂直に交わっているので、h1=rを高さ、aを底辺と考えれば三角形の面積S1=a×r×1/2です。同様にしてS2=b×r×1/2、S3=c×r×1/2です。三角形の面積Sはこの三つの三角形の面積を足し合わせたものなので、計算すると下のようになります。

\begin{align} S=S_1+S_2+S_3\\ =\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}\\ =\frac{ar+br+cr}{2}\\ =\frac{r(a+b+c)}{2} \end{align}

こちらも一度理解しておけばその場で②式を導き出せるので、特に覚えなくても大丈夫でしょう(もちろん覚えて使ってもらってもかまいません)。

最後に上の二つを使って、図3の三角形の内接円の半径rを求めてみます。

条件として角Aは鋭角としています。今bとcとsinAがわかっているので、この三角形の面積Sは①式を用いて求めることができます。次に②式でrを含む形で面積Sを表現できれば、同じ三角形の面積なのでどちらの式でも等しい値であり、これを条件として満たすrを求めれば、これが求めている内接円の半径rの値です。具体的にやってみます。

\begin{align} 三角形ABCにおいてその面積Sは\\ S=\frac{1}{2}bc\sin A\\ =\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{6}\cdot7 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\\ =7\sqrt{2}…①\\ cos^2A=1-sin^2A\\ =1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^2\\ =1-\frac{1}{3}\\ =\frac{2}{3}\\ よってcosA=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\\ =\frac{\sqrt{6}}{3}(∵Aは鋭角よりcos A\geq{0})\\ 余弦定理より\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ =(2\sqrt{6})^2+7^2-2\cdot2\sqrt{6}\cdot7 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}\\ =24+49-\frac{2\cdot2\cdot6\cdot7}{3}\\ =73-56=17となり\\ a=\sqrt{17}(∵a>0)\\ 内接円の半径rを用いると\\ S=\frac{r(a+b+c)}{2}\\ =\frac{r(\sqrt{17}+2\sqrt{6}+7)}{2}…②\\ 同じ三角形の面積なので①=②より\\ 7\sqrt{2}=\frac{r(\sqrt{17}+2\sqrt{6}+7)}{2}\\ したがってr=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{17}+2\sqrt{6}+7} \end{align}

途中②の式を使うために余弦定理を使ってaを求めてます。いくらか面倒な計算を経ましたがrの値が求まりました。適当に値を決めて三角形を作ったので、ぱっと見でどれくらいの値か見当もつかない値がでてきてしまいましたが、関数電卓で計算したらrは1.2くらいです。

内接円の半径を求める機会がこの先にあるかは定かではないです。しかしrを求める過程、つまり「ある一つの量を求めたい値を含む式で表現し、その式を条件式として方程式を解いて求める」ことはよく使うので、高校数学の問題で練習をしておいても損はしないと思います。
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余弦定理

正弦定理の次はcosに関連する余弦定理についてです。余弦定理は三角形の辺の長さと角度の関係についての法則です。

図1の三角形をもとに、余弦定理を示すと以下になります。

\begin{align} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A…①\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B…②\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C…③\\ \end{align}

複雑で覚えづらい形をしていますが、この式を完全に覚えてしまう必要があります。三角形の二辺とその間の角の関係から残り一辺の長さがわかる、そんな形の定理だと思うと少し覚えやすくなります。三つともよく似た形で法則性があるので、一つ覚えれば残り二つは簡単に覚えられるでしょう。

cosの形に変形した次の形もあります。

\begin{align} \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{align}

こちらは3辺の長さがわかればcosもわかる、そのような形になっています。上のものを式変形して簡単にでてきますので特に覚えなくても大丈夫です。実際には問題をたくさん解いていると自然と覚えていたりします。

証明はけっこう面倒くさくて教科書とかには載っていないかもしれません。気になる人はネットで調べてみてください。

一題だけ具体例を解いてみます。

図2の三角形ではcの値がわかっていません。このcの値を余弦定理で求めることができます。cの値を求めたいので③の式を使えばよいように思えますが、cosCがわかっていないので使えません。かわりにaとcosA(cos30°=√3/2)がわかっているので①の式を使ってcを求めることができます。値を①式に代入して計算してみます。

\begin{align} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ 2^2=\sqrt{3}^2+c^2-2\sqrt{3}c\frac{\sqrt{3}}{2}\\ 4=3+c^2-3c\\ c^2-3c-1=0\\ c=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\\ c>0よりc=\frac{3+\sqrt{13}}{2}(∵\sqrt{13}>3)\\ \end{align}

代入して計算していくと二次方程式の形になりました。これを解いて±両方の値が出てきますが三角形の辺の長さなので+の(3+√13)/2がcの値と決まります。

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正弦定理

正弦定理と余弦定理と呼ばれる、三角比と関係する法則があります。話の流れ自体は単純で、こういう定理がわかっていてこれを使ってわかってない辺の長さとかがわかるので、具体的に使って見つけてみましょう、ということです。ただし結構複雑な式なので、ある程度練習しておかないと使うのが難しいです。このページではsinに関係する正弦定理の方を示します。

正弦定理は次の通りです。

\begin{align} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}= 2R…① \end{align}

Rは三角形ABCの外接円の半径です。図で示すと図1のようになります。


証明はネットにも上がってますし気になる人は探してみてください。最初に言った通り、こういう便利な法則が見つかってるから覚えて使ってみる、くらいでかまいません。

図2で正弦定理を具体的に使ってみます。

正弦定理は等号が三つも連なってますが、その都度使う部分を抜き出して使います。たとえば外接円の半径がわかっていてsinAの値がわかっているときは①式の中から
a/sinA=2R…②のところを抜き出して使います。両辺にsinAをかけるとa=2R・sinAになるので、半径とsinAの値を代入すればaの長さがわかります。図2で半径R=3、sinA=1/2なのでこれを代入してa=3になります。

②はaとsinAと2Rで成り立っているので、この三つのうち二つがわかれば残り一つがわかりました。a/sinA=b/sinB…③の部分は4つの成分で成り立っているので、このうち3つがわかれば残り一つがわかります。はじめからわかっているsinAとbに加え、今aの長さがわかったので、a=3を③に代入して式変形するとsinB=1/√2になります。sinB=1/√2をみたすBは45°と135°の二つです。場合によっては片方しか条件を満たさず一つの三角形に決定しますが、図2は両方満たしていて二つ三角形ができます。三角形ABCはB=45°の場合で、点線の三角形AB’C’がもうひとつの三角形です。

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三角方程式

ある値の三角比となる角度を求めることを、三角方程式を解くといいます。たとえばsinθ=1/2(0°≦θ≦180°)となるθは30°と150°です。このときsinθ=1/2が三角方程式の一つであり、θ=30°,150°がその解です。これも半円上の直角三角形を思い描いて、その比となる角度を答えれば簡単に求めることができます。図1に主要な直角三角形とその比を示しています。

この比をもとにしてcosθ=1/2の解は、cosθ=x/rが1/2となる直角三角形を探すとわかります。図1(c)の直角三角形はr=2、x=1なのでcosθ=x/r=1/2となり、このときの角度θ=60°がこの方程式の解です。cosθ=-1/2なら図1(d)の直角三角形よりθ=120°です。

注意点として、sinは鋭角も鈍角も正の値なので、同じ三角比となる角度が鋭角と鈍角の両方出てきます。そして双方がその三角方程式の答えです。それからθ=0°、90°、180°のときは直角三角形ができないので、三角比の定義式をもとに探してみてください。たとえばsinθ=0ならsinθ=y/r=0なのでyの値が0のときであり、θ=0°,180°がその答えです。

表1に主要な三角方程式の値を載せておきます。この表を覚えて利用してもよいですが、上で言った方法で三角方程式は解けるので、特にこの表を覚えなくても大丈夫です。

θsinθcosθtanθ
010
30°1/2√3/21/√3
60°√3/21/2√3
90°10なし
120°√3/2-1/2-√3
150°1/2-√3/2-1/√3
180°0-10

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