標本調査

中学数学の最後に、申し訳程度に標本調査という単元があります。ここでの「標本」は集団から抽出したデータのことだと思ってください。ある集団から一定数ランダムに抽出できれば、抽出された標本は元の集団(母集団)の性質を受け継いでいるはずだ、というのが基本的な考え方です(図1)。

標本調査を行うのは全部を調べられない場合です。中学生の体重と身長の関係とかなら、全員調べる必要があって学校ごとに行われているので、わざわざ標本調査を行う必要はありません。全部調べ上げて性質を取り出す方は全数調査といいます。それに対し工場で生産された製品などは、調査で故障してしまうかもしれませんし、実際のところ全部調査するなどとてもやってられません。そこで標本を取り出して、その標本の性質を商品全体の性質とみなします。標本の不良品率が1%なら、商品全体の不良品率も、誤差はあるだろうけど1%の近くだろうと考えられます。

標本調査を行うには条件があって、まずランダムに片寄りなく標本を取り出せることが必要です。また取り出す標本の数は多いほど誤差が少なくなるので、できることならたくさん取り出して調べた方がよいです。といっても標本の取り出しや調査には手間がかかることも多いので、標本の数は、現実的にできるだけ適度な値になるように、その都度設定されています。

具体例で考えてみます。工場の製品を検品するとします。製作された製品10000個の中から100取り出して不良品の数を数えたら2個であったとします。標本の不良品率は2/100(2%)です。母集団(元の一万個)の中の不良品率は約2%と考えられるので、製品全体の中の不良品の数は10000×(2/100)で約200個あると推測されます。

次にちょっと違う考え方なんですが、生物学で使われる標識再捕法を例にとります。実は高校入試で出たことがあります。標識再捕法の手順は次の通りです。

  1. ある生物種の一部を捕獲する。
  2. その個体に何かしらの標識をつけてもとの場所に放す。
  3. 一定期間おいて散らばるのを待つ。
  4. 再びその生物種の一部を捕獲する。
  5. そのなかに標識がつけられた個体が何匹いるか数えて推定を行う。

具体例は次の通りです。

  1. 川辺でカワニナを100匹つかまえたとします。
  2. 印をつけて放します。
  3. 次の日まで待ちます。
  4. 今度は80匹とれたとします。
  5. 標識がついているのは10匹です。次のように全体の個体数を推測します。

考え方は最初にとれた100匹の全体に対する割合は、次に捕獲したときの個体数に対する再捕獲した個体の割合と同じはずだ、というものです。再捕獲で標識つきは10匹なので、再捕獲した個体に対する割合は10:80です。この割合はおそらく、最初捕獲した100個体と全体の個体の割合と同じはずです。全体の数をxとおくと10:80=100:xになっているはずです。この式は10x=80×100に変換できてx=800です。つまりこの川辺には約800匹のカワニナがいると推測できます。

この方法にはランダムにとれるかという上の条件があります。捕るのがカワニナじゃなくてウグイのような群れをつくる魚だったりしたときは、偶然ほとんどがとれたり、逆にほとんどとれなかったりするので、この方法では推測できないでしょう。他にも標識再捕法が使えるための条件がありますが(カワニナに使えるか実はあやしい)、数学の範囲を超えるので省略します。こんなふうに標本調査には使えるための条件があるのですが、実際に利用されていて有効な方法です。数学の問題では使える前提で問題が出るので、上のような心配はしなくて大丈夫です。

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三平方の定理

三平方の定理と呼ばれる直角三角形の辺の長さに関する定理が存在します。この定理はピタゴラスの定理とも呼ばれていて、古代ギリシアのピタゴラス教団においてすでに発見されていました。図1のように、直角三角形においては「斜辺の二乗=他の二辺のそれぞれの二乗の和」という関係が成立しています。式で書くとc2=a2+b2…(1)です。三辺のうち二つの辺の長さがわかれば、この式を使ってもう一辺の長さを求めることができます。

図2の具体例で計算練習をしてみます。

図2(a)では斜辺cがわかっていないので、(1)の式にa=3、b=4を代入してc2=32+42=25になります。cは正の数なのでc2=25を満たすcの値は5、つまり斜辺の長さが5だとわかります。(b)ではc2=32+52=34で斜辺c=√34です。斜辺がわかっている場合の(c)でも(1)の式に値を代入して、わかっていないbの値を求めることができます。値を代入すると(3√5)2=32+b2となります。これを計算して
(3√5)2=32+b2
b2=32×(√5)2-32
=9×5-9
= 36
よってb=6(なぜならばb>0)
となります。

関連ページ:平方根の計算二次方程式を解く

直角三角形のうち図3の二つ(三角定規の直角三角形)はよく使うので、比を覚えておいてこの比を使って値を求めることをよく行います。図3(c)は(a)と相似なので三辺の比は一致しているので、1:2:√3=√2:c:aが成り立っています。この式は結局のところ(c)の図形は(a)の図形の√2倍になっているということなので、(a)のそれぞれの辺を√2倍して、(c)のc=2√2、a=√3×√2=√6となります。

三平方の定理の証明はたくさんあるらしくて、興味のある人はネットで調べてみてください。とりあえず数学者にでもならない限り、三平方の定理を使えればまったく問題ありません。

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自己を認識する自己

カントの認識論に対し、それまでの知覚と認識の議論を整合的に体系化するという方向性で発展させていく、という道もあったはずです。しかし後世にドイツ観念論と呼ばれるカントの後継者たちは、対象の認識ではなく対象の認識をする自己を認識するといった、高度に抽象的な方向に進んでいくことになります。彼らが対象としようとしたものは「自然の合目的性を見とおす悟性」、「神的な直感的悟性」(熊野純彦『西洋哲学史 下巻』、第9章)といったものです。このような高度な知性を辿る思索によって、カントの批判哲学を超えることができるのではないかと、彼らは考えたようです。

このページではドイツ観念論を代表するヘーゲルの前に、彼とカントとをつなぐ抽象化された議論を、少しだけ覗いてみることにします。

1.意識と表象

カントにおいて、感性の形式で与えられる所与が、認識の形式を規定する悟性によって、因果関係のような抽象的な次元を含む認識として現れるのでした。何かの認識は意識へと現れるのであり、その現れを意味する言葉が「表象 Vorstellung」です。感性により時間や空間の形式を伴って意識へと現れるのですが、我々人間においては因果関係のような次元を伴って表象として現れます。感性と悟性をわけて考えると、感性による現れと悟性による現れ(表象)をつなぐものが必要となって、それがカントの「構想力」です。

カントの継承者を自認したマイモンは、ライプニッツの微分概念を用いて以下のように考えました。感性にはただたんに多様な感覚が与えられるのではなく、意識に微分として与えられます。この微分はモナドの考え方を適用すれば、その瞬間(微分)が全体を自身の状態として表出するとみなせます。そうするとそれぞれの微分のなかに対象全体が織り込まれているので、悟性は多数の微分からその対象全体を再現するように、対象が関係付けられた状態で認識できるはずです。感性の与える微分を構想力が全体として形づくり、微分間の関係から悟性が対象相互の関係を作り出します。

ただし熊野によると、マイモンのいう微分はライプニッツの微小表象のことらしいです。一つの表象は実際には意識されない微小な表象をもつと考えられています。熊野の説明は次のようなものです。「たとえば、微細な青の斑点と黄色のそれとが緑色の表象を与えるとき、ふたつの色を知覚しているのでなければ、緑の表象もまた生まれない。けれども青と黄との微小な表象は、意識にのぼることがない」(熊野純彦『西洋哲学史 下巻』、第9章)。何かしらのゲシュタルトを構成する要素(○とか×とか要素自体はなんでもよい)も、この話題と関係づけて考えることができるかもしれません。

なお、このページの内容からはそれるのですが、「表象」の言葉で「ゲシュタルト知覚」、つまり対象としての意識への現れを指す人もいます。これは人間でなくても中枢神経系を持つ動物、とりあえずは脊椎動物もそのような意識への現れを持つでしょう。このページの「表象 Vorstellung」は高度に抽象化された人間意識への現れを指す、人間に限定された言葉であることを断っておきます。

2.絶対に一にして同一な意識

初期ドイツ観念論と呼ばれる学派が、「ドイツ国民に告ぐ」で有名なフィヒテからはじまります。フィヒテはまず、カントの議論を批判的に引き受け、反省的に与えられる自己の認識について思索しています。認識の認識のような次元では、反省的に私が私であることを意識する必要がありますが、当然乳児にそうした反省は欠けているので、自己という認識をもたらす反省がどこからくるのかよくわからなくなります。何が始まりかを考えるとよく循環してしまうのですが、これもその一つで、自己の概念をもたらす反省は自己が成立していないと始まらないので、二つのどちらかに始まりを求めると循環して収拾がつかなくなります。そして自己定立を行う自我に特殊な権能を与えるような、自己撞着的な意見に発展しかねません。

無限後退の原因の一つは、意識において、主観(意識するもの)と客観(対象)とがたがいに区別されていることと考えられます。それに対するフィヒテの考えは、「そのうちで、主観的なものと客観的なものがまったく分離されず、絶対的に一にして同一であるような一箇の意識が存在する」(熊野純彦『西洋哲学史 下巻』、第9章)というものです。「主観と客観の同一的な意識」は、ヘーゲルの「絶対精神」の思想に受け継がれていくことになります。

  • 参照文献1:熊野純彦『西洋哲学史 近代から現代へ』(岩波書店)
  • 参照文献2:木田元『反哲学史』(講談社学術文庫)

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円周角の定理

「円周角の定理」と呼ばれる円に関係する定理があります。図1(a)のような場合に、角APBを円周角、角AOBを中心角と呼び、「一つの弧に対する円周角の大きさは中心角の大きさの半分である。」というものです。また図1(b)のように同じ弧の円周角は同じ角度になるという性質もこの定理に含まれます。一見違う形に見えますが、図1(c)も円周角の定理が適用できます。

また弧の長さが等しければ、異なる弧でも円周角は等しいことがわかっています(図2(a))。さらに弧の長さの比と円周角の大きさの比が対応しています(図2(b))。図2(b)では弧の長さがAB:CD=1:2になっているので、角APB:角CQD=1:2です。

円周角の定理の証明はそれほど難しくはないですが、とりあえず円周角の定理を覚えて使えることができるのであれば問題ありません。気になった人はネット等でさがしてみてください。簡単にみつかると思います。

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相似な図形の面積比と体積比

同じ形で大きさが異なる図形が相似な図形です。相似な図形において、対応する箇所の長さがm:nのとき、面積の比がm2:n2、体積の比がm3:n3になることがわかっています。相似な図形であればどのような図形でもかまいません。このことは、面積が単位正方形何個分、体積が単位立方体何個分にあたるかを示す値であることを思い出すと納得がいきます。

正方形の面積は縦×横の長さなので、一辺の長さがmの正方形の面積はm2、長さnの正方形の面積はn2となり、面積比は上で示したm2:n2になります(図1)。

相似な図形では正方形以外の図形でも、縦横にあたる何かしらの基準となる長さがm:nととれるので、やはり同じように面積比はm2:n2で表すことができます。円だと半径がm:nのとき、面積の比を取ってみるとπm2:πn2=なので、m2:n2になります(図2)。

体積の方は正方形が立方体に変わりますが、全く同じ考え方で体積比がm3:n3になると理解できます。

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