三角関数の極限

１．sin、cos、tanの極限

三角関数の極限もグラフの形状から判断することができます。sin、cos、tanのグラフを図1、2、3に示します。

sinとcosは無限に波が続いているので、lim_x→∞ sinxやlim_x→-∞ cosxは値が定まらないので極限値なしです。tanの場合は同じ形状がπごとに現れていてπ/2や-π/2のときは∞や-∞に発散しそうです。三角関数でも極限を求めるときは右側極限と左側極限を調べる必要があって、x→π/2の極限lim_x→π/2 tanxなら lim_x→+π/2 tanxとlim_x→-π/2 tanxを調べる必要があります。グラフを見てわかる通り、lim_x→+π/2 tanx=-∞、lim_x→-π/2 tanx=∞となり、右側極限と左側極限の値が一致しないので、x→π/2では極限値なしです。

\begin{equation} \lim_{x \to \infty} \sin x：極限値なし \lim_{x \to -\infty} \cos x：極限値なし\\ \lim_{x \to +\pi/2} \tan x = -\infty、 \lim_{x \to -\pi/2} \tan x = \inftyより\\ \lim_{x \to \pi/2} \tan x：極限値なし \end{equation}

２．sinに関する極限の公式

sinの極限に関する、よく利用される公式に次のものがあります。

\begin{equation} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \end{equation}

この公式の証明には、はさみうちの原理と呼ばれるこれまたよく利用される方法が使われています。せっかくなので証明も紹介することにします。

先にはさみうちの原理を示します。

\begin{equation} f(x) \leqq h(x) \leqq g(x)のとき\\ \lim_{x \to a} f(x) = \alpha、\lim_{x \to a} g(x) = \alphaならば\\ \lim_{x \to a} h(x) = \alpha \end{equation}

小さい方も大きい方も同じ値に収束するなら、その間のものも同じ値に収束する、という意味です。

上の三角関数の極限に関する公式の証明は、なかなかにわかりづらいです。まず図4の図形において、0<x<2πの範囲で、三角形OPQ、扇形OPQ、三角形OTQの面積を考えます。

三つの面積を計算すると下のようになります。

\begin{equation} \triangle OPQ=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{1}{2}\sin x\\ 扇形OPQ=\pi \cdot 1^2 \cdot \frac{x}{2\pi}=\frac{1}{2}x\\ \triangle OTQ=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x= \frac{1}{2}\tan x \end{equation}

図4より、三角形OPQの面積<扇形OPQの面積<三角形OTQの面積となるのがわかります。したがって、

\begin{equation} \frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x\\ \sin x < x < \tan x\\ \sin x > 0より\sin xで割って1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}\\ 逆数をとって1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x \end{equation}

ここまで式変形してやっとはさみうちの原理が使えます。x→+0のときcos x → 1 なので（もちろんx→+0のとき1→1）、はさみうちの原理より

\begin{equation} \lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x}=1 \cdots ① \end{equation}

これで右側極限は示せました。次は左側極限で、図4は0<x<π/2のときなので、この図はもう使えません。そこでさきほど証明した①を利用します。x→-0のとき、h=-xとおくとh→+0より

\begin{equation} \lim_{x \to -0} \frac{\sin x}{x}= \lim_{h \to +0} \frac{\sin (-h)}{-h} \\ = \lim_{h \to +0} \frac{- \sin h}{-h} ( \because \sin (-h) = -\sin h)\\ = \lim_{h \to +0} \frac{\sin h}{h} = 1 \cdots ② \end{equation}

これで①、②より右側極限と左側極限とも1に収束するので、

\begin{equation} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \end{equation}

一題だけこの公式を使う問題を解いてみます。

\begin{equation} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 \\ = 2 \end{equation}

途中、分母分子に2をかけて分母xをsinの角度と同じ2xにしてます。こうすれば2xをXとおけばsinX / Xとなるので上の公式が使えます。

３．参照文献

• 参照文献：文栄堂編集部『これでわかる数学Ⅲ』（文栄堂）

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