無限等比級数の和

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目次

• １．無限級数
• ２．無限等比級数の和
• ３．参照文献

１．無限級数

数列の各項を無限に足し合わせていったものを「無限級数」と呼びます。式で表現すると下となります。

\begin{equation} a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots = \sum_{n=1}^\infty a_n \end{equation}

無限級数にも「収束」と「発散」が定義されていて、無限に足し合わせても有限の値に収束するときは「収束」、そうでないときは「発散」です。また収束するときにその値を無限級数の和と呼びます。

２．無限等比級数の和

等比数列の無限級数を無限等比級数と呼びます。公比によって、無限等比級数が収束するか、発散するかが変わります。結論を先に言うと、公比rが-1<r<1のとき収束、それ以外のときは発散です。

初項a₁=1、公比r=1/2の等比数列a_nで考えてみましょう。

\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} a_n = 1 + 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot (\frac{1}{2})^2 + \cdots + 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} + \cdots \end{equation}

正の数を無限に足し合わせていくので無限大に発散しそうだし、足し合わせる数が急速に小さくなっていくので収束しそうにも思えます。rが1/2なので収束しますが、実際に計算して収束する値を調べてみます。

\begin{equation} a_nの第n項までの和S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}より\\ S_n=\frac{1\{1-(\frac{1}{2})^n\}}{1-\frac{1}{2}}\\ =\frac{\{1-(\frac{1}{2})^n\}}{\frac{1}{2}}\\ =2\{1-(\frac{1}{2})^n\}\\ よって\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\lim_{n \to \infty}S_n=\lim_{n \to \infty}2\{1-(\frac{1}{2})^n\}\\ =2(1-0)=2\\ \end{equation}

無限に正の値を足していっても、最終的に2に収束することが示せました。-1<r<1の範囲では$\lim_{n \to \infty}r^n=0$となるので、常に特定の値に収束してくれます。

関連ページ：等比数列の極限

特殊な値r=1とr=-1のときも確認しておきます。r=1のときはs_n = a + a + a + … + aとなるので$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$は発散します。r=-1のときはs_n = a – a + a – a + …となり、 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$はa（nが奇数）か0（nが偶数）かのどちらかになるので、やはり発散します。以上より、無限等比級数の和についてまとめると次となります。

\begin{equation} -1 < r < 1のとき\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\lim_{n \to \infty}S_n=\lim_{n \to \infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r} =\frac{a}{1-r}\\ rがそれ以外のとき発散 \end{equation}

３．参照文献

• 参照文献：文栄堂編集部『これでわかる数学Ⅲ』（文栄堂）

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