関数の極限

１．右側極限と左側極限
２．関数の極限の具体例
３．参照文献

１．右側極限と左側極限

関数の極限において考慮しないといけないことの一つが、右側極限と左側極限です。関数は一般に連続値の変数を持つので、その極限値に正の方から近づけることもできるし、負の方から近づけることもできます。正の方から近づけていったときの極限が右側極限、負の方から近づけていった極限が左側極限です（図１）。

右側極限と左側極限は、下のような式の書き方になります。

\begin{equation} 右側極限：\lim_{x=a+0} f(x)\\ 左側極限：\lim_{x=a-0} f(x)\\ \end{equation}

このあとの具体例で示しますが、右側極限と左側極限の値が異なることもあり得ます。なので両極限値が異なる場合は極限値なし、両極限値が一致するときに極限値を持つことになります。

\begin{equation} \lim_{x=a+0} f(x)=\alpha~かつ\lim_{x=a-0} f(x) = \alpha ~\Leftrightarrow ~\lim_{x=a} f(x) = \alpha \\ \end{equation}

２．関数の極限の具体例

具体例を2つみてみます。まずは次の関数の極限です。

\begin{equation} \lim_{x=1} \frac{2x}{x-1} \end{equation}

式を眺めてみれば、直感で右側極限が+∞、左側極限が-∞になりそうです。実はこの関数は、中学のときにやった反比例の関数を平行移動したものです。式変形して右側極限と左側極限、グラフを求めてみましょう。

\begin{equation} f(x)=\frac{2x}{x-1}と置く\\ \frac{2x}{x-1}=\frac{2x-2+2}{x-1}\\ =\frac{2(x-1)+2}{x-1}\\ =\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{2}{x-1}\\ =2+\frac{2}{x-1}\\ \lim_{x=1+0} (\frac{2}{x-1}) = +\inftyより\lim_{x=1+0} f(x) = +\infty\\ \lim_{x=1-0} (\frac{2}{x-1}) = -\inftyより\lim_{x=1+0} f(x) = -\infty\\ よってx \rightarrow 1の極限値なし \end{equation}

以上より右側極限が+∞、左側極限が-∞になり、x→1のときf(x)は極限値なしとなります。y=f(x)=2+2/(x-1)と式変形できたので、これはy=2/xをx軸方向に+1、y軸方向に+2平行移動した関数を意味し、グラフは図２となります。

関数の極限はグラフの形から考えると簡単にわかる場合がよくあります。数Ⅱの指数・対数関数もそうで、lim_x→+0 log_e xを例に取ります。対数関数では真数条件よりx>0なので、そもそも右側極限しかとる必要はありません。底が1より大きいのでグラフは図3となり、lim_x→+0 log_e x=-∞とすぐわかります。