三角関数の微分

１．三角関数の微分

三角関数の微分の公式は次の通りです。

\begin{equation} 三角関数の微分の公式\\ (\sin x)’=\cos x\\\\ (\cos x)’=-\sin x \\\\ (\tan x)’= \frac{1}{\cos^2 x} \end{equation}

上の公式を使えれば問題ないのですが、公式の導入も示しておきます。

数学や工学の本には公式集が最後に載せてあることも多くて、使える公式を探して利用することも多いです。sinとcosの微分公式の導入に利用するのは「和積の公式」です。

\begin{equation} 三角関数の和積の公式\\ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\\\\ \sin A – \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\\\\ \cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\\\\ \cos A – \cos B = -2\sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \end{equation}

一応、数IIで出てきているのですが、全く覚えていない人もたくさんいると思います。加法定理からわりと簡単に導入できますが、公式集から探して使用できれば問題ないです。

三角関数の微分公式の導入は以下のようになります。

\begin{equation} (\sin x)’ = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\\ =\lim_{h \to 0} \frac{2\cos \frac{(x+h)+x}{2}\sin \frac{(x+h)-x)}{2}}{h}\\ =\lim_{h \to 0} \frac{2\cos (x+\frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{h}\\ =\lim_{h \to 0} \cos (x+\frac{h}{2}) \cdot \frac{\sin \frac{h}{2}}{{\frac{h}{2}}}\\ =\cos x (\because \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1)\\\\ (\cos x)’ = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}\\ = \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin \frac{(x+h)+x}{2}\sin\frac{(x+h)-x}{2}}{h}\\ = \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin (x + \frac{h}{2})\sin\frac{h}{2}}{h}\\ = \lim_{h \to 0} -\sin (x + \frac{h}{2}) \cdot \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\\ =-\sin x\\\\ (\tan x)’= (\frac{\sin x}{\cos x})’\\ =\frac{(\sin x)’ \cos x – \sin x (\cos x)’}{\cos^2 x}\\ =\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}\\ =\frac{1}{\cos^2 x} \end{equation}

２．計算例

いくつか具体的な関数の微分を示します。前ページまでの微分の公式と合成関数の微分も利用します。

\begin{equation} (1) y=\sin (3x+2)\\ \{\sin (3x+2)\}’=\{\cos (3x+2)\}\cdot (3x+2)’\\ =3\cos(3x+2)\\\\ (2) y=\tan2x\\ \{\tan 2x\}’=\frac{1}{\cos^2 2x}\cdot (2x)’\\ =\frac{2}{\cos^2 2x}\\\\ (3) y=\cos^3(2x+1)\\ \{\cos^3(2x+1)\}’=\{3\cos^2(2x+1)\}\cdot \{\cos(2x+1)\}’\\ =\{3\cos^2(2x+1)\}\cdot \{-\sin(2x+1)\}\cdot (2x+1)’\\ =-6\cos^2(2x+1)\sin(2x+1)\\ \end{equation}

本来は$\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$のように置いて計算していくのですが、外側から括弧の内側に向かって順々に微分していくと覚えて、上のようにさっと書いてしまって構いません。(3)を例にとると、v=cos(2x+1)、u=(2x+1)と置くとy={v(u)}³です。$\frac{dy}{dv}$、$\frac{dv}{du}$、$\frac{du}{dx}$を個別に計算して、$\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}$を求めます。実際に計算するときは一番外側の3乗を微分して3cos²(2x+1)で、3乗の内側のcosを微分して－sin(2x+1)で、さらに内側の(2x+1)を微分して2で、これらを掛けたものを整理して－6cos²(2x+1)sin(2x+1)、という感じです。

３．参照文献

• 参照文献：文栄堂編集部『これでわかる数学Ⅲ』（文栄堂）

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