微分の公式

１．導関数

関数f(x)の導関数は次の式で定義されているのを、すでに数Ⅱで学習しています。

\begin{equation} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{equation}

そして関数f(x)の導関数を求めることを、「f(x)を微分する」というのでした。

関連ページ：導関数

一題、導関数の定義を用いて関数を微分してみます。

\begin{equation} f(x)=\sqrt x\\ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt x)(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{x+h – x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{1}{(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}\\ =\frac{1}{2\sqrt x} \end{equation}

このように非常に手間がかかります。そこであらかじめ微分の公式が調べられていて、実際に微分を行うときはそれらの公式を利用します。

２．微分の公式

微分の公式を下に示します。

\begin{equation} 関数f(x)、g(x)が微分可能な時\\ ①\{kf(x)\}’=kf'(x)\\ ②\{f(x)+g(x)\}’=f'(x)+g'(x)\\ \{f(x)-g(x)\}’=f'(x)-g'(x)\\ ③\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ ④\{\frac{f(x)}{g(x)}\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\ ⑤nが実数のとき、(x^n)’=nx^{n-1} \end{equation}

①と②に関しては、こちらもすでに数Ⅱで出てきてます。⑤も正の整数の場合は数Ⅱで出てきてて、数Ⅲで実数に拡張されています。本当は負の整数、有理数、実数の順に、証明と共に拡張していくのですが、このページではいったんその証明は飛ばします。

３．微分の公式の証明

2節の③と④の公式の証明を示そうと思います。実際には、この公式を覚えて使えるようになれば問題ありません。ただ、こういった証明をゴリゴリ自力でやっておくと、問題を解く力がつくのは間違いありません。大学数学が必要な人には、証明を見ながらでもよいので、自分で式変形しておくことをお勧めします。

\begin{equation} ③\{f(x)g(x)\}’=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\cdots(a)\\ =\lim_{h \to 0}\frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)+\{g(x+h)-g(x)\}f(x)}{h}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x)\\ =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ \\ ④\{\frac{f(x)}{g(x)}\}’=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h}\cdot\frac{1}{g(x+h)g(x)}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{h}\cdot\frac{1}{g(x+h)g(x)}\cdots(b)\\ =\lim_{h \to 0}\frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x)-\{g(x+h)-g(x)\}f(x)}{h}\cdot\frac{1}{g(x+h)g(x)}\\ =\{\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)-\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x)\}\lim_{h \to 0} \frac{1}{g(x+h)g(x)}\\ =\{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)\}\cdot\frac{1}{g(x)g(x)}\\ =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\ \end{equation}

③の公式の証明において、(a)ではf(x)g(x+h)を足してf(x)g(x+h)を引くということをやっています（(b)も類似の操作）。同じものを足して引くので元の式と変わりません。この操作はf'(x)とg'(x)をある意味で無理やり作り出すために行っています。「同じものを足して引く」という操作は大学数学では割とよく目にするので、今のうちに練習して感覚として身につけておくと後々楽になってくれます。

４．公式の利用

公式の使用例を三つ示します。

\begin{equation} (1) f(x)=(x^2+x+1)(x-2)\\ f'(x)=(x^2+x+1)'(x-2)+(x^2+x+1)(x-2)’~（③を利用）\\ =(2x+1)(x-2)+(x^2+x+1)\cdot1（①、②、⑤を利用）\\ =2x^2-3x-2+x^2+x+1=3x^2-2x-1\\ \\ (2) f(x)=\frac{2x-1}{x^2-2}\\ f'(x)=\frac{(2x-1)'(x^2-2)-(2x-1)(x^2-2)’}{(x^2-2)^2}~（④を利用）\\ =\frac{2(x^2-2)-(2x-1)(2x)}{(x^2-2)^2}（①、②、⑤を利用）\\ =\frac{-2x^2+2x-4}{(x^2-2)^2}=\frac{-2(x^2-x+2)}{(x^2-2)^2}\\ \\ (3) f(x)=\sqrt x \\ f'(x) = (x^\frac{1}{2})’\\ = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}~（⑤を利用）\\ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{equation}

この後、各種の関数の微分公式が出てきます。ほとんどの場合が各関数の複合したものを微分することになるので、①から⑤の公式も利用することになります。

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５．参照文献

• 参照文献：文栄堂編集部『これでわかる数学Ⅲ』（文栄堂）

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