合成関数の微分

１．合成関数の微分

合成関数y=f(g(x))の微分は、下の公式で比較的簡単に行うことができます。

\begin{equation} y=f(u)、u=g(x)の合成関数y=f(g(x))において、\\ 2つの関数fとgがxで微分可能なとき、\\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \end{equation}

dy、du、dxというのはどれも微小な長さだったので、微小とはいえ具体的な数です。なのでduで割ってduをかければ元と同じ式、そして$\frac{dy}{du}$、$\frac{du}{dx}$を個別に計算してかけ合わせればよいですよ、という感じの式です。y=f(g(x))という記述を見ると難しく感じるかもしれませんが、実際にはそんなに複雑ではないことが、具体例の計算をやってみるとわかります。

２．合成関数の微分の具体例

一題、具体例を見てみます。

\begin{equation} y=(2x+1)^3\\ u=2x+1とおくとy=u^3\\ \frac{dy}{du}=\frac{d(u^3)}{du}=3u^2\\ \frac{du}{dx}=\frac{d(2x+1)}{dx}=2\\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=3u^2\cdot2\\ =3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2 \end{equation}

慣れればu=g(x)のように置かなくても、そのまま微分できるようになります。合成関数の微分は山のように計算することになるので、感覚的に計算できるようになるまで計算練習をしておくことをお勧めします。もう一題、u=g(x)と置かずに解いてみます。

\begin{equation} y=\sqrt{2x-3}\\ \frac{dy}{dx}=\{(2x-3)^{\frac{1}{2}}\}’\\ =\frac{1}{2}(2x-3)^{-\frac{1}{2}}\cdot(2x-3)’\\ =\frac{1\cdot2}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2x-3}}=\frac{1}{\sqrt{2x-3}} \end{equation}

こんな感じで、変数への置き換えが1回ですむような場合には、u=g(x)と置かずに計算することの方が普通になります。

３．参照文献

• 参照文献：文栄堂編集部『これでわかる数学Ⅲ』（文栄堂）

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