微分可能

１．数Ⅲにおける微積

すでに数Ⅱで微分積分を学習しています。微分と積分は数Ⅲからが本番で、数Ⅱの微積とは比べ物にならないくらい難しいです。 ただし数Ⅱで概念としては考えてきているので、概念の理解の難しさというよりは、手順を覚えて利用する技術的な難しさが跳ね上がることが原因です。 なので人によっては数Ⅲの微積の方が楽という場合もあると思います。 また大学数学に直結する内容でもあり、実用性の高さでは間違いなく一番手です。 必要に迫られて学習しないといけない場合は、ひとまず微積の技術を手に入れて計算できるようにしておくことをお勧めします。

数IIのときと同じように、数IIIの微積もまず微分から学習するのが通常です。このサイトでも微分からページを作成していきます。

２．微分可能

まずは微分が可能（微分係数が存在する）である条件を考えましょう。連続関数でも不連続な点では微分不能です（図1(a)）。しかし連続な点でも微分不能な場合があります。一言でいうと、関数が折れ曲がっているところは微分不能です（図１(b)）。

微分可能、つまりその点で存在する微分係数は、その点における接線の傾きにあたるのでした。接線を文字通り理解すると曲線に接する線のことですが、図1(b)のように折れ曲がっている点では接する線が無数に存在し一つに定めることができません。微分係数は、「曲線も極限まで近づけて見れば直線になっている」という考え方が元にあると思ってください。折れ曲がっていると、どれだけ近づけても直線に近似することができません。そのため連続な曲線でも、折れ曲がった点では接線は存在しないことになります。

関連ページ：微分係数

ここから少しだけ余談です。先ほど曲線を近似した直線という言い方をしましたが、直線であっても折れ曲がっていない点では微分係数が存在します。y=f(x)=xなら微分係数は常に1で、接線は元の関数と同じy=xです。一応接線は存在することになりますが、意味がないので問われることはまずないでしょう。

以上より、微分可能とは連続で折れ曲がっていないことであり、数学的には微分係数を計算して求めることができることです。

\begin{equation} 関数f(x)のx=aにおいて微分可能:\\ f'(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}が存在する。 \end{equation}

実際に折れ曲がっている点では、左側極限と右側極限が一致しないので、極限値である微分係数が存在しません。例えばy=|x|はx=0において折れ曲がっていて（図2）、この点では次のように微分係数が存在していません。

\begin{equation} x＜0のときf(x)=-x、0 \leqq xのときf(x)=xより\\ \lim_{h \to -0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h \to -0} \frac{-(0+h)-(0)}{h}\\ =\lim_{h \to -0} \frac{-h-0}{h}\\ =\lim_{h \to -0} -1=-1\\ \lim_{h \to +0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h \to +0} \frac{(0+h)-(0)}{h}\\ =\lim_{h \to -0} \frac{h-0}{h}\\ =\lim_{h \to -0} 1=1\\ よって\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \ne \lim_{h \to +0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}より\\ x=0において極限値なし \end{equation}

３．参照文献

• 参照文献：文栄堂編集部『これでわかる数学Ⅲ』（文栄堂）