関数の連続

１．関数の連続性
２．区間
３．中間値の定理
４．参照文献

１．関数の連続性

連続関数においても、ある点においては連続ではない、という場合が存在します。ある特定の点において連続であるには、以下の三つの条件が全て満たされていることを示す必要があります。

\begin{equation} 関数f(x)がx=aで連続である~:~\\ ①x=aがf(x)の定義域の中に含まれる。\\ ②\lim_{x \to a+0} f(x) = \lim_{x \to a-0} f(x)つまり \lim_{x \to a} f(x)が存在する。 \\ ③\lim_{x \to a} f(x)=f(a)が存在する。\\ 以上、3つの条件が全て成立している。 \end{equation}

まず①は、そもそもx=aが定義域に含まれているか、f(a)が存在するかの確認です。②は右側極限と左側極限が一致して、x=aでの極限が存在することです。③は式だけではわかりづらいですが、②の極限値が、関数f(x)のx=aにおける値と一致していることです。③が必要な理由は具体例を見るとわかります。ある点においては不連続な連続関数の式は簡単に作れて、次の関数もそうです。

\begin{equation} \begin{cases} f(x)=x^2+2(x\ne0) \\ f(x) = 0(x=0) \end{cases} \end{equation}

上の関数は二次関数ですが、x=0のときだけ二次関数上にない点(x, y)=(0, 0)を取ります。図1から、x=0において不連続であることは簡単にわかります。

手順に従ってx=0において関数f(x)が不連続であることを示しておきます。

\begin{equation} \lim_{x \to +0} (x^2+2) =2、 \lim_{x \to -0} (x^2 + 2) =2より \lim_{x \to 0} f(x) =2\\ f(0)=0より \lim_{x \to 0} f(x) \ne f(0)\\ したがって関数f(x)はx=0で不連続である。 \end{equation}

この手順に従えば、グラフを描かなくてもある点における関数の連続を調べることができます。

２．区間

a≦x≦bを閉区間、a<x<bを開区間と呼び、閉区間を[a, b]で、開区間を(a, b)で表示します。これまで通りの表記で別に変わらない気もしますが、この表記方法が導入されてからはこの表記が使われます。閉区間と開区間の併用も可能でa<x≦bなら(a, b]です。また範囲の指定がないときは∞の開区間と考えて、例えばa≦xなら[a, ∞)、x<bなら(∞, b)です。範囲が実数全体のときは(-∞, ∞)で表現できます。

３．中間値の定理

重要な定理の一つに「中間値の定理」があって次のものです。

\begin{equation} 中間値の定理:\\ 関数f(x)が閉区間[a, b]で連続でf(a) \ne f(b)のとき、\\ f(a)とf(b)の間にある任意の実数kに対して、\\ f(c)=k(a＜ c＜b）となるcが少なくとも一つ存在する。\\ とくにf(a)とf(b)が異符号のとき、f(c)=0となるcが\\ aとbの間に少なくとも一つ存在する。 \end{equation}

表現がかなりわかりづらいと思います。簡単に言うと、f(a)とf(b)の間の値を、a<x<bの間のどこかで必ず取る、ということです（図2）。